数学

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(3^x+x^4=y!+2019\)をみたす正の整数の組\((x,y)\)を全て求めよ。 （2019年 China North MO, Problem1） 方 ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 （１）\(3^n=k^3+1\)をみたす正の整数の組\((k,n)\)をすべて求めよ。 （２）\(3^n=k^2-40\)をみたす正の整数の組\((k,n)\) ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(a\)を\(2\)以上の整数, \(p\)を\(3\)より大きい素数とする。ある正整数\(k\)に対して等式 \(a^{p-1}-1=p^k\) が成り立つ ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 正の整数\(n\), 素数\(p\)に対し, \(\sqrt{n(n+p)}\)が整数になるという。このとき, \(n\)は平方数であることを示せ。 方針 まず ...

目次 問題 方針 解答 関連入試問題 あとがき 問題 \(f(x)\)は区間\([0, \infty)\)上で一様連続であるとする。このとき, ある正の定数\(\mathrm{M}\)が存在して, \ ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 問１ \(n\)を\(2\)以上の整数とする。\(3^n-2^n\)が素数ならば\(n\)も素数であることを示せ。 問２ \(a\)を\(1\)より大きい定数と ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(xy\)平面において, ２点\(\mathrm{B}(-\sqrt{3},-1), \mathrm{C}(\sqrt{3},-1,)\)に対し, 点\(\m ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 曲線\(y= \log(1+\cos{x})\)の\(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)の部分の長さを求めよ。 方針 極めてシンプルな計 ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 無限級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^n \cos{\frac{n\pi}{6}}\)を求 ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 曲線\(y= \frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(\mathrm{P}\)における接線は\(x\)軸に交わるとし,その交点を\(\mathrm{Q ...