目次
まえがき
本記事では京都大学2013年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。
年度別検索・分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。
大問１
・平面図形, ベクトル
平行四辺形\(\mathrm{ABCD}\)において, 辺\(\mathrm{AB}\)を\(1:1\)に内分する点を\(\mathrm{E}\), 辺\(\mathrm{BC}\)を\(2:1\)に内分する点を\(\mathrm{F}\), 辺\(\mathrm{CD}\)を\(3:1\)に内分する点を\(\mathrm{G}\)とする。線分\(\mathrm{CE}\)と線分\(\mathrm{FG}\)の交点を\(\mathrm{P}\)とし, 線分\(\mathrm{AP}\)を延長した直線と辺\(\mathrm{BC}\)の交点を\(\mathrm{Q}\)とするとき, 比\(\mathrm{AP}:\mathrm{PQ}\)を求めよ。
大問２
・数列
\(N\)を\(2\)以上の自然数とし, \(a_n\)（\(n=1,2, \cdots\)）を次の性質（ⅰ）（ⅱ）をみたす数列とする。
（ⅰ）\(a_1 =2^N -3\)
（ⅱ）\(n=1,2, \cdots\)に対して,
\(a_n\)が偶数のとき, \(a_{n+1}=\frac{a_n}{2}\),\(a_n\)が奇数のとき, \(a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}\)
このときどのような自然数\(M\)に対しても
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{M} a_n \leq 2^{N+1}-N-5\)
が成り立つことを示せ。
大問３
・整数
\(n\)を自然数とし, 整式\(x^n\)を\(x^2-2x-1\)で割った余りを\(ax+b\)とする。このとき\(a\)と\(b\)は整数であり, さらにそれらをともに割り切る素数は存在すないことを示せ。
大問４
・微分
\(- \frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)における\(\cos{x}+ \frac{\sqrt{3}}{4}x^2\)の最大値を求めよ。ただし\(\pi > 3.1\)および\(\sqrt{3} > 1.7\)が成り立つことは証明なしに用いてよい。
大問５
・座標,積分
\(xy\)平面内で, \(y\)軸上の点\(\mathrm{P}\)を中心とする円\(C\)が\(2\)つの曲線
\(C_1 : y=\sqrt{3} \log{1+x}, C_2 : y=\sqrt{3} \log{1-x}\)
とそれぞれ点\(\mathrm{A}\), 点\(\mathrm{B}\)で接しているとする。さらに三角形\(\mathrm{PAB}\)は\(\mathrm{A}\)と\(\mathrm{B}\)が\(y\)軸に関して対称な位置にある三角形とする。このとき\(3\)つの曲線\(C, C_1, C_2\)で囲まれた部分の面積を求めよ。
ただし, \(2\)つの曲線がある点で接するとは, その点を共有し, さらにその点において共通の接線をもつことである。
大問６
・場合の数・確率
投げた時に表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する。数直線上に石を置き, この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し, 裏が出れば数直線上で座標\(1\)の点に関して対称な点に石を移動する。
（１）石が座標\(x\)の点にあるとする。\(2\)回硬貨を投げたとき, 石が座標\(x\)の点にある確率を求めよ。
（２）石が原点にあるとする。\(n\)を自然数とし, \(2n\)回硬貨を投げたとき, 石が座標\(2n-2\)の点にある確率を求めよ。
あとがき
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注意
・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。
・以上６問はすべて京都大学2013年度理系数学の問題です。
