目次
まえがき
本記事では京都大学2014年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。
年度別検索・分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。
大問１
・座標, ベクトル
座標空間における次の\(3\)つの直線\(l,m,n\)を考える：
\(l\)は点\(\mathrm{A}(1,0,-2)\)を通り, ベクトル\(\vec{u}=(2,1,-1)\)に平行な直線である。
\(m\)は点\(\mathrm{B}(1,2,-3)\)を通り, ベクトル\(\vec{v}=(1,-1,1)\)に平行な直線である。
\(n\)は点\(\mathrm{C}(1,-1,0)\)を通り, ベクトル\(\vec{w}=(1,2,1)\)に平行な直線である。
\(\mathrm{P}\)を\(l\)上の点として, \(\mathrm{P}\)から\(m,n\)へ下ろした垂線の足をそれぞれ\(\mathrm{Q}, \mathrm{R}\)とする。このとき, \(\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{PR}^2\)を最小にするような点\(\mathrm{P}\)と, そのときの\(\mathrm{PQ}^2 + \mathrm{PR}^2\)を求めよ。
大問２
・場合の数・確率, 数列
\(2\)つの粒子が時刻\(0\)において三角形\(\mathrm{ABC}\)の頂点\(\mathrm{A}\)に位置している。これらの粒子は独立に行動し, それぞれ\(1\)秒ごとに隣の頂点に等確率で移動していくとする。たとえば, ある時刻で点\(\mathrm{C}\)にいる粒子は, その\(1\)秒後に点\(\mathrm{A}\)または点\(\mathrm{B}\)にそれぞれ\(\frac{1}{2}\)の確率で移動する。この\(2\)つの粒子が時刻\(0\)の\(n\)秒後に同じ点にいる確率\(P(n)\)を求めよ。
大問３
・三角関数・指数対数, 平面図形
三角形\(\mathrm{ABC}\)は条件, \(\angle{\mathrm{B}}=2\angle{\mathrm{A}}, \mathrm{BC}=1\)を満たす三角形のうちで面積が最大のものであるとする。このとき, \(\cos{\angle{\mathrm{B}}}\)を求めよ。
大問４
・方程式・不等式, 軌跡・領域, 微分
実数の定数\(a,b\)に対して, 関数\(f(x)\)を
\(f(x)= \frac{ax+b}{x^2+x+1}\)
で定める。すべての実数\(x\)で不等式
\(f(x) \leq {f(x)}^3-2{f(x)}^2+2\)
が成り立つような点\((a,b)\)の範囲を図示せよ。
大問５
・整数
自然数\(a,b\)はどちらも\(3\)で割り切れないが, \(a^3+b^3\)は\(81\)で割り切れる。このような\(a,b\)の組\((a,b)\)のうち, \(a^2+b^2\)を最小にするものと, そのときの\(a^2+b^2\)の値を求めよ。
大問６
・座標, 積分
双曲線\(y= \frac{1}{x}\)の第１象限にある部分と, 原点\(O\)を中心とする円の第１象限にある部分を, それぞれ\(C_1, C_2\)とする。\(C_1\)と\(C_2\)は\(2\)つの異なる点\(\mathrm{A}, \mathrm{B}\)で交わり, 点\(\mathrm{A}\)における\(C_1\)の接線\(l\)と線分\(\mathrm{OA}\)のなす角は\(\frac{\pi}{6}\)であるとする。このとき, \(C_1\)と\(C_2\)で囲まれる部分の面積を求めよ。
あとがき
過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください！
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注意
・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。
・以上６問はすべて京都大学2014年度理系数学の問題です。
