目次
まえがき
本記事では京都大学2015年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。
年度別検索・分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。
大問１
・積分
\(2\)つの関数\(y=\sin{(x+\frac{\pi}{8})}\)と\(y=\sin{2x}\)のグラフの\(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)で囲まれる領域を, \(x\)軸のまわりに\(1\)回転させてできる立体の体積を求めよ。
ただし, \(x=0\)と\(x=\frac{\pi}{2}\)は領域を囲む線とは考えない。
大問２
・三角関数・指数対数, 平面図形
次の\(2\)つの条件を同時に満たす四角形のうち面積が最小のものの面積を求めよ。
（a）少なくとも\(2\)つの内角は\(90^\circ\)である。
（b）半径\(1\)の円が内接する。ただし, 円が四角形に内接するとは, 円が四角形の\(4\)つの辺すべてに接することをいう。
大問３
・数列, 極限, 微分
（１）\(a\)を実数とするとき, \((a,0)\)を通り, \(y=e^x+1\)に接する直線がただ１つ存在することを示せ。
（２）\(a_1 =1\)として, \(n=1,2, \cdots \)について, \((a_n ,0)\)を通り, \(y=e^x+1\)に接する直線の接点の\(x\)座標を\(a_{n+1}\)とする。このとき, \(\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_n)\)を求めよ。
大問４
・立体図形, ベクトル
一辺の長さが\(1\)の正四面体\(\mathrm{ABCD}\)において, \((\mathrm{P}\)を辺\((\mathrm{AB}\)の中点とし, 点\((\mathrm{Q}\)が辺\((\mathrm{AC}\)上を動くとする。このとき, \(\cos{\angle{\mathrm{PDQ}}}\)の最大値を求めよ。
大問５
・整数
\(a,b,c,d,e\)を正の実数として整式
\(f(x)=ax^2+bx+c\)
\(g(x)=dx+e\)
を考える。すべての正の整数\(n\)に対して\(\displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}\)は整数であるとする。このとき, \(f(x)\)は\(g(x)\)で割り切れることを示せ。
大問６
・場合の数・確率, 数列
\(2\)つの関数を
\(f_0(x)=\frac{x}{2}, f_1(x)=\frac{x+1}{2}\)
とおく。\(x_0=\frac{1}{2}\)から始め, 各\(n=1,2, \cdots\)について, それぞれ確率\(\frac{1}{2}\)で\(x_n =f_0(x_{n-1})\)または\(x_n =f_1(x_{n-1})\)と定める。このとき, \(x_n < \frac{2}{3}\)となる確率\(P_n\)を求めよ。
あとがき
過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください！
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注意
・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。
・以上６問はすべて京都大学2015年度理系数学の問題です。
