数学過去問

【過去問】京都大学 2017年度 理系数学

目次

  1. まえがき
  2. 大問1
  3. 大問2
  4. 大問3
  5. 大問4
  6. 大問5
  7. 大問6
  8. あとがき

まえがき

本記事では京都大学2017年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。

年度別検索分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。

大問1

・軌跡・領域, 複素数平面
\(w\)を\(0\)でない複素数, \(x,y\)を\(w+ \frac{1}{w} =x+yi\)を満たす実数とする。
(1)実数\(R\)は\(R>1\)を満たす定数とする。\(w\)が絶対値\(R\)の複素数全体を動くとき, \(xy\)平面上の点\((x,y)\)の軌跡を求めよ。
(2)実数\(\alpha\)は\(0< \alpha< \frac{\pi}{2}\)を満たす定数とする。\(w\)が偏角\(\alpha\)の複素数全体を動くとき, \(xy\)平面上の点\((x,y)\)の軌跡を求めよ。

大問2

・立体図形, ベクトル
四面体\(\mathrm{OABC}\)を考える。点\(\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I}\)は, それぞれ辺\(\mathrm{OA},\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CO},\mathrm{OB},\mathrm{AC}\)上にあり, 頂点ではないとする。このとき, 次の問に答えよ。
(1)\(\vec{\mathrm{DG}}\)と\(\vec{\mathrm{EF}}\)が平行ならば, \(\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\mathrm{CF}:\mathrm{FB}\)であることを示せ。
(2)\(\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I}\)が正八面体の頂点となっているとき, これらの点は\(\mathrm{OABC}\)の各辺の中点であり, \(\mathrm{OABC}\)は正四面体であることを示せ。

大問3

・整数, 三角関数・指数対数
\(p,q\)を自然数, \(\alpha, \beta\)を
\(\tan{\alpha}= \frac{1}{p}, \tan{\beta}= \frac{1}{q}\)
を満たす実数とする。このとき,
\(\tan{(\alpha + 2\beta)}=2\)
を満たす\(p,q\)の組\((p,q)\)を全て求めよ。

大問4

・平面図形
三角形\(\mathrm{ABC}\)は鋭角三角形であり, \(\angle{\mathrm{A}}= \frac{\pi}{3}\)とする。また三角形\(\mathrm{ABC}\)の外接円の半径は\(1\)であるとする。
(1)三角形\(\mathrm{ABC}\)の内心を\(P\)とするとき, \(\angle{\mathrm{BPC}}\)を求めよ。
(2)三角形\(\mathrm{ABC}\)の内接円の半径\(r\)の取りうる値の範囲を求めよ。

大問5

・積分
\(a \geq 0\)とする。\(0 \leq x \leq \sqrt{2}\)の範囲で曲線\(y=xe^{-x}\), 直線\(y=ax\), 直線\(x= \sqrt{2}\)によって囲まれた部分の面積を\(S(a)\)とする。このとき, \(S(a)\)の最小値を求めよ。
(ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち\(2\)つ以上で囲まれた部分を意味するものとする。)

大問6

・場合の数・確率, 数列
\(n\)を自然数とする。\(n\)個の箱すべてに, \(1,2,3,4,5\)の\(5\)種類のカードがそれぞれ\(1\)枚ずつ計\(5\)枚入っている。各々の箱から\(1\)枚ずつカードを取り出し, 取り出した順に左から並べて\(n\)桁の数\(\mathrm{X}\)を作る。このとき, \(\mathrm{X}\)が\(3\)で割り切れる確率を求めよ。

あとがき

過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください!

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注意

・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。

・以上6問はすべて京都大学2017年度理系数学の問題です。

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Yuya Sakurada

洛北(中高一貫)→京都大学理学部2回生|元駿台特待, EX生|予備校勤務 |個別指導講師(英数)|高3時, 京大模試英語で全国15位以内を1年間で7回達成|ポケモン全国3位(2013), 全国Top8(2017), 全国Top4(2018)|大学受験英語・数学や大学の学問紹介の記事を中心に書いています。

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