目次
まえがき
本記事では京都大学2017年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。
年度別検索・分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。
大問１
・軌跡・領域, 複素数平面
\(w\)を\(0\)でない複素数, \(x,y\)を\(w+ \frac{1}{w} =x+yi\)を満たす実数とする。
（１）実数\(R\)は\(R>1\)を満たす定数とする。\(w\)が絶対値\(R\)の複素数全体を動くとき, \(xy\)平面上の点\((x,y)\)の軌跡を求めよ。
（２）実数\(\alpha\)は\(0< \alpha< \frac{\pi}{2}\)を満たす定数とする。\(w\)が偏角\(\alpha\)の複素数全体を動くとき, \(xy\)平面上の点\((x,y)\)の軌跡を求めよ。
大問２
・立体図形, ベクトル
四面体\(\mathrm{OABC}\)を考える。点\(\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I}\)は, それぞれ辺\(\mathrm{OA},\mathrm{AB},\mathrm{BC},\mathrm{CO},\mathrm{OB},\mathrm{AC}\)上にあり, 頂点ではないとする。このとき, 次の問に答えよ。
（１）\(\vec{\mathrm{DG}}\)と\(\vec{\mathrm{EF}}\)が平行ならば, \(\mathrm{AE}:\mathrm{EB}=\mathrm{CF}:\mathrm{FB}\)であることを示せ。
（２）\(\mathrm{D},\mathrm{E},\mathrm{F},\mathrm{G},\mathrm{H},\mathrm{I}\)が正八面体の頂点となっているとき, これらの点は\(\mathrm{OABC}\)の各辺の中点であり, \(\mathrm{OABC}\)は正四面体であることを示せ。
大問３
・整数, 三角関数・指数対数
\(p,q\)を自然数, \(\alpha, \beta\)を
\(\tan{\alpha}= \frac{1}{p}, \tan{\beta}= \frac{1}{q}\)
を満たす実数とする。このとき,
\(\tan{(\alpha + 2\beta)}=2\)
を満たす\(p,q\)の組\((p,q)\)を全て求めよ。
大問４
・平面図形
三角形\(\mathrm{ABC}\)は鋭角三角形であり, \(\angle{\mathrm{A}}= \frac{\pi}{3}\)とする。また三角形\(\mathrm{ABC}\)の外接円の半径は\(1\)であるとする。
（１）三角形\(\mathrm{ABC}\)の内心を\(P\)とするとき, \(\angle{\mathrm{BPC}}\)を求めよ。
（２）三角形\(\mathrm{ABC}\)の内接円の半径\(r\)の取りうる値の範囲を求めよ。
大問５
・積分
\(a \geq 0\)とする。\(0 \leq x \leq \sqrt{2}\)の範囲で曲線\(y=xe^{-x}\), 直線\(y=ax\), 直線\(x= \sqrt{2}\)によって囲まれた部分の面積を\(S(a)\)とする。このとき, \(S(a)\)の最小値を求めよ。
（ここで「囲まれた部分」とは, 上の曲線または直線のうち\(2\)つ以上で囲まれた部分を意味するものとする。）
大問６
・場合の数・確率, 数列
\(n\)を自然数とする。\(n\)個の箱すべてに, \(1,2,3,4,5\)の\(5\)種類のカードがそれぞれ\(1\)枚ずつ計\(5\)枚入っている。各々の箱から\(1\)枚ずつカードを取り出し, 取り出した順に左から並べて\(n\)桁の数\(\mathrm{X}\)を作る。このとき, \(\mathrm{X}\)が\(3\)で割り切れる確率を求めよ。
あとがき
過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください！
京大の理系数学（赤本）
過去27年間の京大入試数学（前期）の問題が分野別に掲載されており、京大受験生のみならず、"演習書"として全国の受験生にとって有益な１冊です。高校１年生から誰でも使用できます。
↑画像をタップするとAmazonの購入ページに進むことができます。
実戦模試演習 京都大学への数学（京大実戦過去問）
最新の傾向に合わせて練られた京大入試実戦模試の過去問が５年分収録されており、採点基準や平均点、偏差値なども見ることができます。問題演習+自己分析をすることにより、本番の入試で得点向上に結び付く一冊です。
↑画像をタップするとAmazonの購入ページに進むことができます。
大学別入試攻略問題集（京大オープン過去問）
最新の傾向に合わせて練られた京大オープン模試の過去問が６年分収録されており、採点基準や平均点、偏差値なども見ることができます。こちらも問題演習+自己分析をすることにより、本番の入試で得点向上に結び付く一冊です。
↑画像をタップするとAmazonの購入ページに進むことができます。
注意
・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。
・以上６問はすべて京都大学2017年度理系数学の問題です。
