目次
まえがき
本記事では京都大学2018年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。
年度別検索・分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。
大問１
・軌跡・領域
\(0\)でない実数\(a,b,c\)は次の条件（ⅰ）と（ⅱ）を満たしながら動くものとする。
（ⅰ）\(1+c^2 \leq 2a\)
（ⅱ）２つの放物線\(C_1 : y=ax^2\)と\(C_2 : y=b(x-1)^2 +c\)は接している。
ただし, ２つの曲線が一致するとは, ある共有点において共通の接線をもつことであり, その共有点を接点という。
（１）\(C_1\)と\(C_2\)の接点の座標を\(a\)と\(c\)を用いて表せ。
（２）\(C_1\)と\(C_2\)の接点が動く範囲を求め, その範囲を図示せよ。
大問２
・整数
\(n^3-7n+9\)が素数となるような整数\(n\)をすべて求めよ。
大問３
・平面図形, 座標
\(\alpha\)は\(0< \alpha \leq \frac{\pi}{2}\)を満たす定数とし, 四角形\(\mathrm{ABCD}\)に関する次の２つの条件を考える。
（ⅰ）四角形\(\mathrm{ABCD}\)は半径\(1\)の円に内接する。
（ⅱ）\(\angle \mathrm{ABC}= \angle \mathrm{DAB}= \alpha\)
条件（ⅰ）と（ⅱ）を満たす四角形の中で, \(4\)辺の長さの積
\(k= \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA} \)
が最大となるものについて, \(k\)の値を求めよ。
大問４
・場合の数・確率, 数列, 複素数平面
コインを\(n\)回投げて複素数\(z_1 , z_2 , \cdots , z_n\)を次のように定める。
（ⅰ）\(1\)回目に表が出れば\(z_1 = \displaystyle \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}\)とし, 裏が出れば\(z_1 =1\)とする。
（ⅱ）\(k=2,3, \cdots , n\)のとき, \(k\)回目に表が出れば\(z_k = \displaystyle \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2} z_{k-1}\)とし, 裏が出れば\(z_k = \overline{z_{k-1}}\)とする。ただし, \(\overline{z_{k-1}}\)は\(z_{k-1}\)の共役複素数である。
このとき, \(z_n =1\)となる確率を求めよ。
大問５
・極限, 微分, 積分
曲線\(y= \log x\)上の点\(\mathrm{A}(t, \log t)\)における法線上に, 点\(\mathrm{B}\)を\(\mathrm{AB}=1\)となるようにとる. ただし\(\mathrm{B}\)の\(x\)座標は\(t\)より大きいとする。
（１）点\(\mathrm{B}\)の座標\((u(t),v(t))\)を求めよ。また\(( \displaystyle \frac{du}{dt}, \frac{dv}{dt})\)を求めよ。
（２）実数\(r\)は\(0<r<1\)を満たすとし, \(t\)が\(r\)から\(1\)まで動ときに点\(\mathrm{A}\)と\(\mathrm{B}\)が描く曲線の長さをそれぞれ\(L_1(r), L_2(r)\)とする。このとき, 極限\(\displaystyle \lim_{r \to +0} (L_1(r)-L_2(r))\)を求めよ。
大問６
・立体図形, ベクトル
四面体\(\mathrm{ABCD}\)は\(\mathrm{AC}= \mathrm{BD}\),\(\mathrm{AD}= \mathrm{BC}\)を満たすとし, 辺\(\mathrm{AB}\)の中点を\(\mathrm{P}\),辺\(\mathrm{CD}\)の中点を\(\mathrm{Q}\)とする。
（１）辺\(\mathrm{AB}\)と線分\(\mathrm{PQ}\)は垂直であることを示せ。
（２）線分\(\mathrm{PQ}\)を含む平面\(\alpha\)で四面体\(\mathrm{ABCD}\)を切って\(2\)つの部分に分ける。このとき, \(2\)つの部分の体積は等しいことを示せ。
あとがき
過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください！
京大の理系数学（赤本）
過去27年間の京大入試数学（前期）の問題が分野別に掲載されており、京大受験生のみならず、"演習書"として全国の受験生にとって有益な１冊です。高校１年生から誰でも使用できます。
↑画像をタップするとAmazonの購入ページに進むことができます。
実戦模試演習 京都大学への数学（京大実戦過去問）
最新の傾向に合わせて練られた京大入試実戦模試の過去問が５年分収録されており、採点基準や平均点、偏差値なども見ることができます。問題演習+自己分析をすることにより、本番の入試で得点向上に結び付く一冊です。
↑画像をタップするとAmazonの購入ページに進むことができます。
大学別入試攻略問題集（京大オープン過去問）
最新の傾向に合わせて練られた京大オープン模試の過去問が６年分収録されており、採点基準や平均点、偏差値なども見ることができます。こちらも問題演習+自己分析をすることにより、本番の入試で得点向上に結び付く一冊です。
↑画像をタップするとAmazonの購入ページに進むことができます。
注意
・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。
・以上６問はすべて京都大学2018年度理系数学の問題です。
