数学過去問

【過去問】京都大学 2018年度 理系数学

目次

  1. まえがき
  2. 大問1
  3. 大問2
  4. 大問3
  5. 大問4
  6. 大問5
  7. 大問6
  8. あとがき

まえがき

本記事では京都大学2018年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。

年度別検索分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。

大問1

・軌跡・領域
\(0\)でない実数\(a,b,c\)は次の条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たしながら動くものとする。
(ⅰ)\(1+c^2 \leq 2a\)
(ⅱ)2つの放物線\(C_1 : y=ax^2\)と\(C_2 : y=b(x-1)^2 +c\)は接している。
ただし, 2つの曲線が一致するとは, ある共有点において共通の接線をもつことであり, その共有点を接点という。
(1)\(C_1\)と\(C_2\)の接点の座標を\(a\)と\(c\)を用いて表せ。
(2)\(C_1\)と\(C_2\)の接点が動く範囲を求め, その範囲を図示せよ。

大問2

・整数
\(n^3-7n+9\)が素数となるような整数\(n\)をすべて求めよ。

大問3

・平面図形, 座標
\(\alpha\)は\(0< \alpha \leq \frac{\pi}{2}\)を満たす定数とし, 四角形\(\mathrm{ABCD}\)に関する次の2つの条件を考える。
(ⅰ)四角形\(\mathrm{ABCD}\)は半径\(1\)の円に内接する。
(ⅱ)\(\angle \mathrm{ABC}= \angle \mathrm{DAB}= \alpha\)
条件(ⅰ)と(ⅱ)を満たす四角形の中で, \(4\)辺の長さの積
\(k= \mathrm{AB} \cdot \mathrm{BC} \cdot \mathrm{CD} \cdot \mathrm{DA} \)
が最大となるものについて, \(k\)の値を求めよ。

大問4

・場合の数・確率, 数列, 複素数平面
コインを\(n\)回投げて複素数\(z_1 , z_2 , \cdots , z_n\)を次のように定める。
(ⅰ)\(1\)回目に表が出れば\(z_1 = \displaystyle \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2}\)とし, 裏が出れば\(z_1 =1\)とする。
(ⅱ)\(k=2,3, \cdots , n\)のとき, \(k\)回目に表が出れば\(z_k = \displaystyle \frac{-1+ \sqrt{3}i}{2} z_{k-1}\)とし, 裏が出れば\(z_k = \overline{z_{k-1}}\)とする。ただし, \(\overline{z_{k-1}}\)は\(z_{k-1}\)の共役複素数である。
このとき, \(z_n =1\)となる確率を求めよ。

大問5

・極限, 微分, 積分
曲線\(y= \log x\)上の点\(\mathrm{A}(t, \log t)\)における法線上に, 点\(\mathrm{B}\)を\(\mathrm{AB}=1\)となるようにとる. ただし\(\mathrm{B}\)の\(x\)座標は\(t\)より大きいとする。
(1)点\(\mathrm{B}\)の座標\((u(t),v(t))\)を求めよ。また\(( \displaystyle \frac{du}{dt}, \frac{dv}{dt})\)を求めよ。
(2)実数\(r\)は\(0<r<1\)を満たすとし, \(t\)が\(r\)から\(1\)まで動ときに点\(\mathrm{A}\)と\(\mathrm{B}\)が描く曲線の長さをそれぞれ\(L_1(r), L_2(r)\)とする。このとき, 極限\(\displaystyle \lim_{r \to +0} (L_1(r)-L_2(r))\)を求めよ。

大問6

・立体図形, ベクトル
四面体\(\mathrm{ABCD}\)は\(\mathrm{AC}= \mathrm{BD}\),\(\mathrm{AD}= \mathrm{BC}\)を満たすとし, 辺\(\mathrm{AB}\)の中点を\(\mathrm{P}\),辺\(\mathrm{CD}\)の中点を\(\mathrm{Q}\)とする。
(1)辺\(\mathrm{AB}\)と線分\(\mathrm{PQ}\)は垂直であることを示せ。
(2)線分\(\mathrm{PQ}\)を含む平面\(\alpha\)で四面体\(\mathrm{ABCD}\)を切って\(2\)つの部分に分ける。このとき, \(2\)つの部分の体積は等しいことを示せ。

あとがき

過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください!

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注意

・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。

・以上6問はすべて京都大学2018年度理系数学の問題です。

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Yuya Sakurada

洛北(中高一貫)→京都大学理学部2回生|元駿台特待, EX生|予備校勤務 |個別指導講師(英数)|高3時, 京大模試英語で全国15位以内を1年間で7回達成|ポケモン全国3位(2013), 全国Top8(2017), 全国Top4(2018)|大学受験英語・数学や大学の学問紹介の記事を中心に書いています。

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