目次
まえがき
本記事では京都大学2020年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。
年度別検索・分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。
大問１
・複素数平面
\(a,b\)は実数で, \(a>0\)とする. \(z\)に関する方程式
\(z^ 3 + 3az^2 + bz + 1 = 0\)
は3つの相異なる解を持ち,それらは複素数平面上で一辺の長さが\(\sqrt{3}\)の正三角形の頂点となっているとする。このとき, \(a,b\)と方程式の3つの解を求めよ。
実数係数の３次方程式の扱い方はこちらを参考にしてください。
大問２
・三角関数, 数列, 極限
\(p\)を正の整数とする。\(\alpha, \beta\)は\(x\)に関する方程式\(x^2-2px-1=0\)の2つの解で, \(|\alpha|>1\)であるとする。
(1)すべての正の整数\(n\)に対し, \(\alpha^n + \beta^n\)は整数であり, さらに偶数であることを証明せよ。
(2)極限\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (-\alpha)^n \sin(\alpha^n \pi)\)を求めよ。
大問３
・座標, ベクトル
\(k\)を正の実数とする。座標空間において, 原点\(O\)を中心とする半径１の球面上の４点\(\mathrm{A,B,C,D}\)が次の関係式を満たしている。
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} = \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \displaystyle \frac{1}{2}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \displaystyle - \frac{\sqrt{6}}{4}\)
\(\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} =k\)
このとき, \(k\)の値を求めよ。ただし, 座標空間の点\(\mathrm{X,Y}\)に対して, \(\overrightarrow{\mathrm{OX}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OY}}\)は, \(\overrightarrow{\mathrm{OX}}\)と\(\overrightarrow{\mathrm{OY}}\)の内積を表す。
大問４
・整数
正の整数\(a\)に対して, \(a=3^b c\)(\(b,c\)は整数で\(c\)は3で割り切れない)の形に書いたとき. \(B(a)=b\)と定める。例えば, \(B(3^2 \cdot 5)=2\)である。
\(m,n\)は整数で以下を満たすとする。
(ⅰ) \(1 \leq m \leq 30\)
(ⅱ) \(1 \leq n \leq 30\)
(ⅲ) \(n\)は3で割り切れない
このような\((m,n)\)について
\(f(m,n)=m^3+n^3+n+3\)
とするとき,
\(A(m,n)=B(f(m,n))\)
の最大値を求めよ。また, \(A(m,n)\)の最大値を与えるような\((m,n)\)をすべて求めよ。
大問５
・場合の数・確率
縦４個, 横４個のマス目のそれぞれに\(1,2,3,4\)の数字を入れていく。このマス目の横の並びを行といい, 縦の並びを列という。どの行にも, どの列にも同じ数字が１回しか現れない入れ方は何通りあるか求めよ。下図はこのような入れ方の１例である。
大問６
・立体図形, 積分
\(x,y,z\)を座標とする空間において, \(xz\)平面内の曲線
\(z=\sqrt{\log(1+x)}\)（\(0 \leq x \leq 1\)）
を\(z\)軸のまわりに１回転させるとき, この曲線が通過した部分よりなる図形を\(S\)とする。この\(S\)をさらに\(x\)軸のまわりに１回転させるとき, \(S\)が通過した部分よりなる立体を\(V\)とする, このとき, \(V\)の体積を求めよ。
あとがき
過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください！
京大の理系数学（赤本）
過去27年間の京大入試数学（前期）の問題が分野別に掲載されており、京大受験生のみならず、"演習書"として全国の受験生にとって有益な１冊です。高校１年生から誰でも使用できます。
実戦模試演習 京都大学への数学（京大実戦過去問）
最新の傾向に合わせて練られた京大入試実戦模試の過去問が５年分収録されており、採点基準や平均点、偏差値なども見ることができます。問題演習+自己分析をすることにより、本番の入試で得点向上に結び付く一冊です。
大学別入試攻略問題集（京大オープン過去問）
最新の傾向に合わせて練られた京大オープン模試の過去問が６年分収録されており、採点基準や平均点、偏差値なども見ることができます。こちらも問題演習+自己分析をすることにより、本番の入試で得点向上に結び付く一冊です。
注意
・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。
・以上６問はすべて京都大学2020年度理系数学の問題です。
