数学過去問

【過去問】京都大学 2021年度 理系数学

目次

  1. まえがき
  2. 大問1
  3. 大問2
  4. 大問3
  5. 大問4
  6. 大問5
  7. 大問6
  8. あとがき

まえがき

本記事では京都大学2021年度理系数学の問題を紹介し、それに対応する解答・解説を順次作成していきます。

さて、先日行われた2021年度入試の理系数学は自分が受験した2020年度のものと比べてかなり易化しました。2010年代の簡単さに戻った、といえば分かりやすいでしょうか。実際、予備校の分析を見てもどこも易化であり、Twitter上で自分が独自に行ったアンケート調査でも75パーセント以上の方が易化と回答してました。合格するためには、非医学部であれば3完半~4完以上、医学部であれば5完以上は最低限取っておかないと厳しそうです。(この部分は個人的な見解であり、開示結果を見てみないと実際分かりません。)

今年度は大問1と大問6は小問が2つついており、配点が40点という特殊な構成をしています。1歩間違えれば駿台全国模試の小問集合ですね。

大問6(2)をキチンと論証して解ける受験生はあまり居ないかもしれませんが、特に大問1,2,4は基本問題であり、丁寧に見直しをして計算を着実に合わせて、確実に満点を取っておきたいところです。

大問1(1)は平面の方程式を交えてやれば後は1次方程式を解くだけの問題です。

大問1(2)は「かつ」や「または」で記述できるタイプの確率の問題です。もとめる確率を「少なくとも~」の形式で表したあと、ド・モルガンの法則を使ってうまく変形してやると容易に求まります。

大問2は何も考えずに接線を求めるために微分、増減を調べるために微分、と微分してるだけで解けます。計算ミスにだけは注意しましょう。

大問4は途中で\(\frac{1}{\cos{x}}\)の積分が出て来ますが、2019年度京都大学理系数学大問1の問2(2)でも出題されています。京大受験生の多くがこの過去問に触れる機会があったと思いますので、この積分を見た時に計算を実行できた受験生も多いような気がします。

ここまでは確実に抑えておきたい問題でしたが、差がつく大問は3,5,6(1)あたりかな、と考えています。

大問3は複素数を交えると比較的簡単に解けますが、これも経験の有無によるところがあると思います。もちろん、複素数なんか使わずにごり押しでも解けますが、試験本番に時間内にキチンと記述してさらに計算を合わせることは容易ではありません。

大問5は軌跡・領域の範囲の問題ですが、(1)も座標でゴリ押そうとすると計算が大変で積みます。中心角と円周角の関係を使えばスマートに解答できますが、これも問題経験によると思います。(2)もきちんと論証できない受験生も多くいるはずです。

大問6(1)は指数部分にある\(n\)についての情報を探る問題で、まず直接的に指数部分をどう扱うかという問題が生じますし、その上「素数であることを示せ」とあるので直接いくのはやはり難しそうで、背理法がまず思い浮かんでくるのかな、といったところです。

以上が2021年度の問題の全体的な分析になります。これは自分が昨年度体感したことですが、試験本番に焦っている中で、しかも2時間半という時間制限の中で大問6つを解くのと、試験が終わってからのんびりと解くのでは体感難易度は各段に違ってきます。少しその点も加味して問題分析を書いてみました。

年度別検索分野別検索にも対応しています。みなさんの過去問学習のお役に立てれば幸いです。

大問1

・ベクトル, 場合の数・確率
問1 \(xyz\)空間の3点\(\mathrm{A}(1,0,0), \mathrm{B}(0,-1,0), \mathrm{C}(0,0,2)\)を通る平面\(\alpha\)に対して点\(\mathrm{P}(1,1,1)\)と対称な点\(\mathrm{Q}\)の座標を求めよ。ただし, 点\(\mathrm{Q}\)が平面\(\alpha\)に対して点\(\mathrm{P}(1,1,1)\)と対称とは, 線分\(\mathrm{PQ}\)の中点\(\mathrm{M}\)が平面\(\alpha\)上にあり, 直線\(\mathrm{PM}\)が\(\mathrm{P}\)から平面\(\alpha\)に下した垂線となることである。
問2 赤玉,白玉,青玉,黄玉が1個ずつ入った袋がある。よくかきまぜた後に袋から玉を1個取り出し, その玉の色を記録してから袋に戻す。この試行を繰り返すとき, \(n\)回目の試行で初めて赤玉が取り出されて4種類全ての色が記録済みとなる確率を求めよ。

解答・解説はこちらから→【入試数学演習No.6】京都大学理系数学2021 大問1 解答・解説 | Sacramy

大問2

・微分
曲線\(y= \frac{1}{2}(x^2+1)\)上の点\(\mathrm{P}\)における接線は\(x\)軸に交わるとし,その交点を\(\mathrm{Q}\)とおく。線分\(\mathrm{PQ}\)の長さを\(\mathrm{L}\)とするとき, \(\mathrm{L}\)が取りうる値の最小値を求めよ。

解答・解説はこちらから→【入試数学演習No.7】京都大学理系数学2021 大問2 解答・解説 | Sacramy

大問3

・三角関数・指数対数, 数列, 複素数平面, 極限
無限級数\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^n \cos{\frac{n\pi}{6}}\)を求めよ。

解答・解説はこちらから→【入試数学演習No.8】京都大学理系数学2021 大問3 解答・解説 | Sacramy

大問4

・積分
曲線\(y= \log(1+\cos{x})\)の\(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)の部分の長さを求めよ。

解答・解説はこちらから→【入試数学演習No.9】京都大学理系数学2021 大問4 解答・解説 | Sacramy

大問5

・平面図形, 軌跡・領域
\(xy\)平面において, 2点\(\mathrm{B}(-\sqrt{3},-1), \mathrm{C}(\sqrt{3},-1,)\)に対し, 点\(\mathrm{A}\)は次の条件(※)を満たすとする。
(※)\(\angle{\mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3}}\)かつ点\(\mathrm{A}\)の\(y\)座標は正
次の各問に答えよ。
(1)三角形\(\mathrm{ABC}\)の外心の座標を求めよ。
(2)点\(\mathrm{A}\)が条件(※)を満たしながら動くとき, 三角形\(\mathrm{ABC}\)の垂心の軌跡を求めよ。

解答・解説はこちらから→【入試数学演習No.10】京都大学理系数学2021 大問5 解答・解説 | Sacramy

大問6

・整数, 微分
問1 \(n\)を\(2\)以上の整数とする。\(3^n-2^n\)が素数ならば\(n\)も素数であることを示せ。
問2 \(a\)を\(1\)より大きい定数とする。微分可能な関数\(f(x)\)が\(f(a)=af(1)\)を満たすとき, 曲線\(y=f(x)\)の接線で原点\((0,0)\)を通るものが存在することを示せ。

解答・解説はこちらから→【入試数学演習No.11】京都大学理系数学2021 大問6 解答・解説 | Sacramy

あとがき

過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください!

京大の理系数学(赤本)

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注意

・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。

・以上6問はすべて京都大学2021年度理系数学の問題です。

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Yuya Sakurada

洛北(中高一貫)→京都大学理学部2回生|元駿台特待, EX生|予備校勤務 |個別指導講師(英数物)|高3時, 京大模試英語で全国15位以内を1年間で7回達成|ポケモン全国3位(2013), 全国Top8(2017), 全国Top4(2018)|大学受験英語・数学や大学の学問紹介の記事を中心に書いています。

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