入試数学演習 大学受験 数学

【入試数学演習No.10】京都大学理系数学2021 大問5 解答・解説

目次

  1. 問題
  2. 方針
  3. 解答
  4. あとがき

問題

\(xy\)平面において, 2点\(\mathrm{B}(-\sqrt{3},-1), \mathrm{C}(\sqrt{3},-1,)\)に対し, 点\(\mathrm{A}\)は次の条件(※)を満たすとする。
(※)\(\angle{\mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3}}\)かつ点\(\mathrm{A}\)の\(y\)座標は正
次の各問に答えよ。
(1)三角形\(\mathrm{ABC}\)の外心の座標を求めよ。
(2)点\(\mathrm{A}\)が条件(※)を満たしながら動くとき, 三角形\(\mathrm{ABC}\)の垂心の軌跡を求めよ。

方針

(1)は角度一定のときの点\(\mathrm{A}\)について考える問題ですが、「ある1つの線分から見たある点の角度が一定のとき、その点はその線分を弦とした円弧を描く」という事実(本質的には円周角の定理と同じです。)を用いることでスマートに解答することができます。

また、上のようにスマートな図形的な発想がなくとも、

(ⅰ)外心の定義から導かれる性質(=外心は各辺の垂直2当分線の交点であること)を利用する

(ⅱ)角度が一定であることを内積の式で表す

などによって解くこともできます。(解答を参照)

(2)は軌跡の問題ですが、文字変数2つに対して等式が2つあるので、直接消去して解くことが可能になっています。問題を解く過程で代入などによって式変形をすることが多くなるとは思いますが、その際必ず、「その変形は同値か?」嚙み砕いて言うと、「その変形をした後にもともとの条件をもれなく復元できるか?」ということを意識するようにしましょう。

その際、「代入した式を残す」ということを意識しましょう。(これは「真 解法への道」という本で紹介されている確実な同値変形の方法です。)

※(2)は幾何的にも処理できます。(河合塾の解答速報の別解を参照)しかし、幾何的な発想は困難であり、汎用性も低いためここで紹介するのは控えておきます。

代入した式を残す

いきなりですが、こんな誤答例についてどう思いますでしょうか?(あるいは、このような誤答例をしたことはありますか?)

(例題1)同値変形①-代入した式を残す
直線\(y=x+1\)と円\(x^2+y^2=25\)の交点を求めよ。

(よくある誤答例)

\(y=x+1\)を円の式に代入して\(y\)を消去することで\(x\)について解くと、\(x^2+(x+1)^2=25\)より、\(x=3,-4\)である。これを円\(x^2+y^2=25\)に代入することで、\(x=3\)のとき\(y=4,-4\)、\(x=-4\)のとき\(y=3,-3\)である。

よって求める答えは\((x,y)=(3,4)(3,-4)(-4,3)(-4,-3)\)である。(答え)

この解答のどこがいけないでしょうか?勘のいい方であれば\((x,y)=(3,4)(-4,-3)\)は\(y=x+1\)を満たさないから不合理であるとすぐに説明するでしょう。

ですが、根本的な原因は解決していないので、これを一般的に考えてみることにします。

\begin{cases}
y=f(x) \\
z=g(y) \\
\end{cases}

という連立方程式があるとき、

\begin{cases}
y=f(x) \\
z=g(y) \\
\end{cases}

\( \Leftrightarrow
\begin{cases}
y=f(x) \\
z=g(f(x)) \\
\end{cases}
\)

という変形は勿論正しいです。(右から左に戻れることを確認してみましょう。)

ですが、

\(
\begin{cases}
y=f(x) \\
z=g(y) \\
\end{cases}
\Leftrightarrow z=g(f(x))
\)

と変形してしまうと、右から左に戻ることはできません。実際、\(y=f(x)\)という式を戻すことができないからです。

このことから、「代入した式を残す」ことが同値変形の根幹をなしていることが分かりましたでしょうか。これをもとに先ほどの答案を修正してみましょう。(もちろん同値記号は用いなくても全然よいし、冗長になるかもしれませんが同値記号を用いて答案を書いてみます。)

(正しい解答例)

\(
\begin{cases}
y=x+1 \\
x^2+y^2=25 \\
\end{cases}
\)

\( \Leftrightarrow
\begin{cases}
y=x+1 \\
x^2+(x+1)^2=25 \\
\end{cases}
\)

\( \Leftrightarrow
\begin{cases}
y=x+1 \\
x=3,-4 \\
\end{cases}
\)

\( \Leftrightarrow
(x,y)=(3,4),(-4,-3)
\)

(答え)

この程度の問題であれば、同値記号を無理に答案に書く必要はありませんし、代入した式を書き忘れるなどの減点リスクも加味すれば、同値記号をむやみに書き散らすことはよくないかもしれません。とにかく重要なのは頭の中でよいので、同値変形であることが理解できていることです。

「勘のいい方であれば\((x,y)=(3,4)(-4,-3)\)は\(y=x+1\)を満たさないから不合理であるとすぐに説明するでしょう。」と自分が冒頭に述べたのは、頭の中で同値変形であることが理解できている一端だと思います。

軌跡の本質-存在条件

軌跡・通過領域のどちらであれ、点\((x,y)\)が動く範囲の本質は「パラメータの存在条件」にあります。

まずは一番簡単な軌跡の例を考えてみましょう。

(例題2)存在条件を考える①-軌跡編
\(t\)を実数とする。このとき点\(\mathrm{P}(t^2,t^4)\)の軌跡を求めよ。
(典型問題)

(よくある誤答例)

\(y=t^4=(t^2)^2=x^2\)であるから、求める軌跡は\(y=x^2\)である。(答え)

この解答は必要条件です。(柔らかく言うと、余分な軌跡を含んでいます。)基本的な問いですが、ではなぜこの解答がダメなのでしょうか?

例えば\((x,y)=(-1,1)\)としてみましょう。これは\(y=x^2\)上の点ですね。ですが、大元の式に立ち返ってみましょう。本問の場合だと、\((t^2,t^4)=(-1,1)\)となります。ですが、\(t^2=-1\)となり得るでしょうか?いま、\(t\)を実数なので、2乗すると\(0\)以上になります。

このことが主張しているのは点\((-1,1)\)に対応する実数\(t\)は存在しないということです。つまり、点\((-1,1)\)は\(t\)が実数全体を動いても通らないということです。

反対に、例えば\((x,y)=(1,1)\)としてみると、\(t=1\)とすれば条件を満たすのでこのような\(t\)は存在しています。これが意味するのは、点\((1,1)\)は通るということです。

まとめると、

\((x,y)\)がある点を取れるかどうかは、その値に対応する実数\(t\)が存在するかどうかで決まる

ことになります。では、先ほどの同値変形も踏まえて正しい解答例です。

(正しい解答例)

もとめる軌跡は

\begin{cases}
x=t^2 \\
y=t^4 \\
\end{cases}

なる実数\(t\)が存在することと同値である。

\(\exists t
\begin{cases}
x=t^2 \\
y=t^4 \\
\end{cases}
\)

\(\Leftrightarrow \exists t
\begin{cases}
t= \pm \sqrt{x} \\
x \geq 0 \\
y=t^4 \\
\end{cases}
\)

\(\Leftrightarrow \exists t
\begin{cases}
t= \pm \sqrt{x} \\
x \geq 0 \\
y=x^2 \\
\end{cases}
\)

\(\Leftrightarrow
\begin{cases}
x \geq 0 \\
y=x^2 \\
\end{cases}
\)

であるから、求める軌跡は\((y=x^2\)の\(x \geq 0\)の部分である。(答え)

注意1°)

もちろん、このように解答してもよいでしょう。

(解答例(?))

\(t^2 \geq 0\)より\(x \geq 0\)であり、\(y=t^4=(t^2)^2=x^2\)であるから、求める軌跡は\((y=x^2\)の\(x \geq 0\)の部分である。(答え)

このような解答は慣れれば初めの解答例のように同値記号を連発せずとも書けるようにはなります。自分が受験生の時は慣れもせず、このような「なんとなく同値」の答案を書いていましたが、大学合格後、改めて軌跡・領域の本質である「存在条件」とそれに付随してくる「同値変形」の大切さを思い知りました。

同値記号に関しては、大学入試の答案で使用するべきか否かについて様々な意見が飛び交っていますが、このように軌跡を求めるうえで必要最低限の同値変形をする分には問題ないとは思います。問題を解く過程で同値記号は無理に用いなくてもよいでしょうが、同値変形が行われているという事実は必ず抑えておきましょう。

(もちろん、慣れている方は2つ目の解答例のように書いてもよいですが、存在条件は必ず理解しておきましょう。)

注意2°)

よく教科書(?)などで軌跡を求めた後に、「逆に、この軌跡上のすべての点\(\mathrm{P}\)は条件を満たす」などと十分性を確認するような文言が添えられており、それに盲目的に従っている方もいるかもしれません。(実際、軌跡分野初学者の自分がそうでした。)ですが、同値な変形をしている以上は十分性の確認をする必要はありません。

本問の場合だと、(同値な変形しかしていませんので、)点\(\mathrm{P}\)が\((y=x^2\)の\(x \geq 0\)の部分にあれば、\(t= \pm \sqrt{x}\)とすることで\((x,y)=(t^2,t^4)\)を満たすことは明らかです。

注意1°)の解答例のような場合であっても軌跡・領域の本質が存在条件にあることが理解できていれば以上のような余計な文言を加えずには済むとは思います。自戒も籠めて、過去の自分のように、「軌跡・領域の問題を解くと毎回満点は貰えるけれども、\(t^2 \geq 0\)より\(x \geq 0\)でありのような文言をなんとなく書いている」状態は避けるべきです。

ですので、本記事でもまずは「代入した式を残す」という同値変形を採用しています。

領域について考える場合には存在条件のみならず値域(いわゆる順像法あるいはファクシミリの原理)や包絡線(高校数学ではグレーですが、このことを背景とした入試問題も出題されています。)もマスターしておく必要があります。

まだまだ語りたいことは山々ありますが、ここではこのくらいに留めておきます。軌跡・領域についてはまた別の記事でゆっくりと語ることにしましょう。

それでは本問の解答へ入っていきましょう。

解答

(1)解1°)

\(\angle{\mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3}}\)で一定だから、点\(\mathrm{A}\)は線分\(\mathrm{BC}\)を弦とする円周の一部を動く。この円周について、中心角は、円周角と中心角の関係から、\(\frac{2\pi}{3}\)となる。中心は線分\(\mathrm{BC}\)の垂直2等分線上にあるので、点\((0,0)\)または点\((0,-2)\)であるが、図より点\(\mathrm{A}\)の\(y\)座標が正である条件を満たすのは前者のみである。

ゆえに、三角形\(\mathrm{ABC}\)の外心の座標は\((0,0)\)である。(答え)

(1)解2°)

三角形\(\mathrm{ABC}\)の外心は線分\(\mathrm{BC}\)の垂直2等分線上にあることが必要。また、正弦定理より、三角形\(\mathrm{ABC}\)の外接円の半径を\(R\)(\(R>0\))とおくと、

\begin{align}
2R &= \frac{\mathrm{BC}}{\sin{\angle{\mathrm{BAC}}}} \\
&= 4
\end{align}

ゆえに、\(R=2\)である。中心\(\mathrm{D}\)の座標を\((0,d)\)とおくと、\(\mathrm{BD}^2=4\)より、

\(3+(d+1)^2=4\)

ゆえに、\(d=0,-2\)である。

(ⅰ)\(d=0\)のとき

円周の方程式は\(x^2+y^2=4\)より、\(y>0\)なる点は存在する。

(ⅱ)\(d=-2\)のとき

円周の方程式は\(x^2+(y+2)^2=4\)より、\(-4 \leq y \leq 0\)より\(y>0\)なる点は存在せず不合理。

ゆえに、三角形\(\mathrm{ABC}\)の外心の座標は\((0,0)\)である。(答え)

(1)解3°)

点\(\mathrm{A}\)の\(y\)座標は正なので、\(\mathrm{A}(a,b)\)(\(b>0\))とおく。

\(\vec{\mathrm{AB}}=(a+\sqrt{3}, b+1)\)

\(\vec{\mathrm{AC}}=(a-\sqrt{3}, b+1)\)

であり、\(\angle{\mathrm{BAC}=\frac{\pi}{3}}\)だから、座標空間における内積の定義式

\(\displaystyle \vec{\mathrm{AB}} \cdot \vec{\mathrm{AC}} = |\vec{\mathrm{AB}}||\vec{\mathrm{AC}}| \cos{\frac{\pi}{3}}\)

に代入して、

\(\displaystyle (a^2-3)+(b+1)^2=\frac{1}{2} \sqrt{(a+\sqrt{3})^2+(b+1)^2} \sqrt{(a-\sqrt{3})^2+(b+1)^2}\)

となるが、両辺ともに非負なので2乗しても同値であり、式を順次整理していくと、


\(\displaystyle (a^2-3)^2+(b+1)^4+2(a^2-3)(b+1)^2- \frac{1}{4}(a^2-3)- \frac{1}{4}(b+1)^4-\frac{1}{4}((a+\sqrt{3})^2+(a-\sqrt{3})^2) =0 \)

\((a^2-3)^2+(b+1)^4+2(b+1)^2(a^2-5) =0 \)

\(a^4-6a^2+9+b^4+4b^2+1+4b^3+2b^2+4b+2a^2b^2+4a^2b+2a^2-10b^2-20b-10=0\)

\(a^4-4a^2+b^4-4b^2+4b^3-16b+2a^2b^2+4a^2b=0\)

\(a^4+a^2(2b^2+4b-4)+b^4+3b^3-4b^2-16b=0\)

\(a^4+2a^2((b^2-4)+(b^2+4b))+(b+2)(b-2)b(b+4)=0\)

\((a^2+b^2-4)(a^2+b^2+4b)=0\)

(ⅰ)\(a^2+b^2-4=0\)のとき

\(a^2+b^2=4\)より、この式は点\(a,b\)は原点中心、半径\(2\)の円周を描くことを意味する。いま、\(b>0\)だからこの円の\(b>0\)の部分(半円周から端点を除いた図形)を描くことになる。

2点\(\mathrm{B}(-\sqrt{3},-1), \mathrm{C}(\sqrt{3},-1,)\)も原点中心、半径\(2\)の円周上にあるので、三角形\(\mathrm{ABC}\)の外心の座標は\((0,0)\)となる。

(ⅱ)\(a^2+b^2+4b=0\)のとき

\(a^2+(b+2)^2=4\)より、この式は点\(a,b\)は原点中心。半径\(2\)の円周を描くことを意味する。しかし、この円周上において、\(b\)の取り得る範囲は実数\(a\)の存在条件を考えることで\(-4 \leq b \leq 0\)となるが、いま\(b>0\)よりこれは矛盾。よって、(ⅱ)の軌跡は不合理。

ゆえに、三角形\(\mathrm{ABC}\)の外心の座標は\((0,0)\)である。(答え)

(2)解答

点\(\mathrm{A}\)の\(y\)座標は正なので、\(\mathrm{A}(a,b)\)(\(b>0\))とおく。

(1)の結果から点\(\mathrm{A}\)は原点を中心とする半径\(2\)の円の一部を動くことが分かっており、

\(a^2+b^2=4\)

を満たす。

次に垂心の座標を考えよう。まず、点\(\mathrm{A}\)から線分\(\mathrm{BC}\)に垂線を降ろすことで、垂心の\(x\)座標は点\(\mathrm{A}\)の\(x\)座標に一致することがわかり、\(a\)である。

次に、直線\(\mathrm{AC}\)の傾きは\(a \neq \sqrt{3}\)のとき、\(\displaystyle \frac{b+1}{a-\sqrt{3}}\)であり、\(b>0\)であり、\(b+1=0\)となることはない。これより、直線\(\mathrm{AC}\)に垂直な直線の傾きは\(\displaystyle -\frac{a-\sqrt{3}}{b+1}\)となる。

垂線の定義から、垂心の座標を考えるには、あとは点\(\mathrm{B}\)を通り、線分\(\mathrm{AC}\)に垂直な直線と直線\(x=a\)の交点を求めればよい。

この直線の方程式は、

\(\displaystyle y+1=-\frac{a-\sqrt{3}}{b+1}(x+\sqrt{3})\)

となるから、この式で\(x=a\)とすることで、垂心の\(y\)座標を求めると、

\begin{align}
y &= -\frac{a-\sqrt{3}}{b+1}(a+\sqrt{3})-1 \\
&= -\frac{a^2-3}{b+1}-1 \\
&= -\frac{4-b^2-3}{b+1}-1 \\
&= \frac{b^2-1}{b+1}-1 \\
&= b-2
\end{align}

となる。

よって、垂心の座標を\((x,y)\)とおくと、

\begin{align}
x &=a \tag1 \\
y &=b-2 \tag2
\end{align}

となる。

なお、\(a=\sqrt{3}\)の場合は\(b>0\)より\(b=1\)となり、垂心は点\(\mathrm{C}\)に一致し、その座標は\((\sqrt{3},-1)\)となるが、この場合も(1)式と(2)式は正しく表現できていることになる。

また文字変数\(a,b\)についての条件は、

\(a^2+b^2=4 \, \cap \, b>0 \tag3\)

である。

垂心の軌跡は(1)かつ(2)かつ(3)を満たすような\(a,b\)が存在する点\((x,y)\)の集合になる。以上3式から\(a,b\)を消去すると、

\(x^2+(y+2)^2=4 \, \cap \, y>-2\)

となる。よって求める軌跡は\((0,-2)\)を中心とする半径\(2\)の円の\(y>-2\)の部分である。(答え)

図は、以下のようになる。(ただし、境界は含まない。)

注意

\(\displaystyle= -\frac{a^2-3}{b+1}-1\)とした後、この式に\(a=x\)を代入することで\(\displaystyle y= -\frac{x^2-3}{b+1}-1\)となり、この式は\(b\)について解けるので、

\(\displaystyle b=\frac{x^2-3}{y+1}-1\)

とした後、\(a^2+b^2=4\)に代入しても良いが式変形がかなり煩雑になり、\(x,y\)についての複雑な4次式を因数分解することになり、しかも円と放物線の交点を考えることになるのでこの手法は極力避けたいが、解答のようなスマートな式変形を初見で行うのはやや困難である。

解答ではうまいタイミングで\(a^2=4-b^2\)を用いてスマートに解いた。

あとがき

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Yuya Sakurada

洛北(中高一貫)→京都大学理学部2回生|元駿台特待, EX生|予備校勤務 |個別指導講師(英数)|高3時, 京大模試英語で全国15位以内を1年間で7回達成|ポケモン全国3位(2013), 全国Top8(2017), 全国Top4(2018)|大学受験英語・数学や大学の学問紹介の記事を中心に書いています。

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