目次
問題
問１
\(n\)を\(2\)以上の整数とする。\(3^n-2^n\)が素数ならば\(n\)も素数であることを示せ。
問２
\(a\)を\(1\)より大きい定数とする。微分可能な関数\(f(x)\)が\(f(a)=af(1)\)を満たすとき, 曲線\(y=f(x)\)の接線で原点\((0,0)\)を通るものが存在することを示せ。
方針
問１
まずは整数問題の基本方針についておさらいしておきましょう。
整数問題の基本方針３つ
①約数・倍数に注目する（因数分解を伴うことが多い）
→式\(1\)つが式\(2\)つになるというとても強力な手段です。整数問題では文字変数に対して式の数が不足している場合がありますが、その不定性の解決策の１つがこの因数分解になるわけです。整数問題ではまず因数分解可能性を考慮してみるとよいでしょう。
因数分解をするために以下の②③を用いることもあれば、逆に①を用いて式を増やした後に②③を利用することもありますので、そこは臨機応変にいきましょう。
②あまりに注目する（\(\mathrm{mod}2,3,4,5,7,8\)あたりを考えたり、素数が絡んだりすることが多い）
→特に、実験をすることが多いです。（近年の京都大学の入試問題を見てみましょう。）
「素数であることを示せ」「素数になる条件を求めよ」の類はたいてい、（ⅰ）実験により規則を発見して有名な\(\mathrm{mod}\)での論証 （ⅱ）背理法 （ⅲ）ユークリッドの互除法のいずれかで解決します。
③とりうる範囲に注目する（分数型の不定方程式や関数の発散スピード）
→分母のほうの次数が高いとき、整数になる場合が限られることや、多項式関数、指数関数では代入する値が大きくなると関数の増加スピードが圧倒的に違うことを利用することが多いです。
※整数問題のより詳しい解き方に関する記事は後々、「高校数学解法集」として寄稿いたしますので、少々お待ちください。
→本問では
指数部分にある\(n\)についての情報を探る問題になっています。因数分解はすぐにできます。実際、
\(3^n-2^n=(3-2)(3^{n-1}+2 \cdot 3^{n-2} + \cdots + 2^{n-1})\)
と因数分解できます。
しかし、まず直接的に指数部分をどう扱うかという問題が生じますし、その上「素数であることを示せ」とあるので直接いくのはやはり難しそうです。
これらのことから、自然な発想として背理法が思い浮かんでくるのではないでしょうか。
本問の例題が過去に千葉大学でも出題されているので紹介しておきます。
（類題）因数分解・指数部分の情報を探る
\(a,b\)は\(2\)以上の整数とする。
（１）\(a^b-1\)が素数ならば, \(a=2\)であり, \(b\)は素数であることを証明せよ。
（２）\(a^b+1\)が素数ならば, \(b=2^c\)（\(c\)は整数）と表せることを証明せよ。
（07 千葉大学理系後期）
（解答）
順次作成します。先ほどの方針と同じように考えていくとそれほど難しくありませんので、一度自力で考えてみてください！
問２
まずは接点から攻めていきます。\(y=f(x)\)の点\(t,f(t)\)における接線の方程式は、
\(y-f(t)=f'(t)(x-t)\)
であり、これが原点を通る条件は\((x,y)=(0,0)\)を代入することで、
\(tf'(t)-f(t)=0 \)と求まります。
まずはこれを定性的に考察してみます。点\((1,f(1))\)と点\((a,f(a))\)は直線\(y=f(1)x\)と曲線\(y=f(x)\)の交点ですので、（特に\(x\)座標が\(1\)から最も近いような\(a\)を考えることで）\(f(1)-f'(1)\)と\(f(1)-f'(a)\)は異符号（または片方が\(0\)）となります。
さて、\(t=1,a\)の場合を考えてみると、この接線の\(y\)切片はそれぞれ\(f(1)-f'(1)\)と\(f(a)-af'(a)=a(f(1)-f'(a))\)となりますので、いま、\(a\)は正より、\(y\)切片が連続的に変化することも踏まえると、これらが異符号ということは変化の途中で\(y\)切片がちょうど\(0\)に等しくなるような瞬間が存在するでしょう。
次に、これもきちんとした議論ではないのですが、\(y=f'(t)x\)が\(y=f(x)\)に接している時、\(f(x)=f'(t)x\)が重解をもつので、\(\displaystyle \frac{f(x)}{x}=f'(t)\)も重解をもつことになります。その結果、\(\displaystyle (\frac{f(x)}{x})'=0\)となりここから攻めていくことも考えられます。
あとは、このあたりのフワフワしたイメージをしっかり言語として起こしてあげましょう。
なお、この問題は今年の京大理系数学の中では最も難しいと感じました。発想するのもそこそこ難しいですし、あれこれ思考を巡らしてからも答案に起こすのが非常に難しいです。
では解答のほうに入っていきましょう！
解答
問１
\(n\)が素数ではない、つまり\(n\)が合成数であると仮定しよう。\(n=ab\)（\(a,b\)は\(2\)以上の整数）と書けるとする。このとき、
3^n-2^n &= 3^{ab}-2^{ab} \\
&= (3^a)^b -(2^a)^b \\
&= (3^a-2^a)((3^a)^{b-1}+(3^a)^{b-2}2^a+ \cdots + (2^a)^{b-1})
\end{align}
となる。ここで、
f(a,b) &= 3^a-2^a \\
g(a,b) &= (3^a)^{b-1}+(3^a)^{b-2}2^a+ \cdots + (2^a)^{b-1}
\end{align}
とおくと、\(f(a,b)\)について、
3^a -2^a &= 3^a(1-(\frac{2}{3})^a) \\
&\geq 3^2 \cdot (1-(\frac{2}{3})^2) \\
&= 5
\end{align}
（∵\(\displaystyle 3^a, 1-(\frac{2}{3})^a\)はどちらも\(a \geq 2\)で正であり単調増加）
また、\(g(a,b)\)についても、
(3^a)^{b-1}+(3^a)^{b-2}2^a+ \cdots + (2^a)^{b-1} &\geq (3^2)^{b-1}+ \cdots + (2^2)^{b-1} \\
&\geq 3^2+2^2 \\
&=13
\end{align}
となるから、\(f(a,b) \cdot g(a,b)\)は合成数となり、素数とはならないので矛盾。ゆえに、\(n\)も素数である。（証明おわり）
問２
\(y=f(x)\)の点\(t,f(t)\)における接線の方程式は、
\(y-f(t)=f'(t)(x-t)\)
であり、これが原点を通る条件は\((x,y)=(0,0)\)を代入することで、
\(tf'(t)-f(t)=0 \tag1\)
となる。つまり（１）式を満たす実数\(t\)が存在することを言えばよい。（接点が存在するとき接線もたしかに存在する。）
ここで、\(\displaystyle g(x)= \frac{f(x)}{x}\)（\(x \neq 0\)）とおくと、
\(\displaystyle g'(x)= \frac{xf'(x)-f(t)}{x^2}\)
であり、\(\displaystyle g(1)=\frac{f(1)}{1}=f(1)\)および\(\displaystyle g(a)=\frac{f(a)}{a}=\frac{af(1)}{a}=f(1)\)を満たし、
\(g(1)=g(a)\)が成立する。
平均値の定理より、\(1<t<a\)を満たす\(t\)で、
\(\displaystyle g'(t)= \frac{g(a)-g(1)}{a-1}=0\)
を満たすものが存在するので、\(g'(t)=0\)つまり（１）式：\(tf'(t)-f(t)=0\)を満たす\(t\)が存在する。
よって、曲線\(y=f(x)\)の接線で原点\((0,0)\)を通るものが存在することが示された。（証明おわり）
あとがき
過去問学習をする上で役に立つ参考書を紹介しておきます。いずれも最新版のものになります。ぜひ手に取って演習を積んでください！
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2021年度理系数学の問題一覧はこちらから見ることができます。
注意
・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。
・以上６問はすべて京都大学2021年度理系数学の問題です。
