入試数学演習 大学受験 数学

【入試数学演習No.12】今週の整数問題No.1 解答・解説

目次

  1. 問題
  2. 方針
  3. 解答
  4. あとがき

問題

正の整数\(n\), 素数\(p\)に対し, \(\sqrt{n(n+p)}\)が整数になるという。このとき, \(n\)は平方数であることを示せ。

方針

まずは整数問題の基本方針についておさらいしておきましょう。

整数問題の基本方針3つ

1. 約数倍数に注目する(因数分解を伴うことが多い)
式\(1\)つが式\(2\)つになるというとても強力な手段です。整数問題では文字変数に対して式の数が不足している場合がありますが、その不定性の解決策の1つがこの因数分解になるわけです。整数問題ではまず因数分解可能性を考慮してみるとよいでしょう。
特に、素数が登場する場合で因数分解できるのであれば(積の形)=(素数の累乗)と変形することが多いです。
因数分解をするために以下の②③を用いることもあれば、逆に①を用いて式を増やした後に②③を利用することもありますので、そこは臨機応変にいきましょう。

2. あまりに注目する(\(\mathrm{mod}2,3,4,5,7,8\)あたりを考えたり、素数が絡んだりすることが多い)
→特に、実験をすることが多いです。(近年の京都大学の入試問題を見てみましょう。)
「素数であることを示せ」「素数になる条件を求めよ」の類はたいてい、(ⅰ)実験により規則を発見して有名な\(\mathrm{mod}\)での論証 (ⅱ)背理法 (ⅲ)ユークリッドの互除法のいずれかで解決します。

3. とりうる範囲に注目する(分数型の不定方程式や関数の発散スピード
分母のほうの次数が高いとき、整数になる場合が限られることや、多項式関数指数関数では代入する値が大きくなると関数の増加スピードが圧倒的に違うことを利用することが多いです。

→本問では

まず、「整数になるという」という日本語はしっかりと定式化しましょう。(整数問題において日本語の定式化は必須級です。)

整数\(m\)を用いて\(\sqrt{n(n+p)}=m\)と書けるとします。この式には\(\sqrt{}\)があるので2乗して解消しましょう。(整数問題では\(\sqrt{}\)などは解消して議論したほうがわかりやすいです。)すると、\(n(n+p)=m^2\)となるので、ここから色々な議論ができそうです。

1°)どうやら積の形にうまく変形できそうなのと、\(p\)が素数であることから(積の形)=(\(p\)の累乗)とすればこれまらうまくいきそうです。(素数に因数分解と来ればこのような議論が多いです、)

2°)等式をよく観察してみると、これは\(n\)についての2次方程式と見ることができます。特にいま、\(n\)についての情報を調べたいので好都合な方針ではないでしょうか。このように、整数問題ではある文字について解く特に1次, 2次式)ことがしばしばあります。文字について解いた後、整数になる必要条件から絞り込んでいく、という手法もセットでもっておきましょう。整数問題では「はじめは大雑把に(必要条件)、最後に精密に(十分条件)」の感覚が大切ですよね。

3°)これは経験がないと発想するのが困難ですが、平方数に関して以下のような議論をすることが多いです。

(議論)平方数互いに素
\(ab=m^2\)(\(a,b\)は自然数, \(m\)は非負整数)が成立し、更に\(a,b\)の最大公約数が\(1\)であるとする。(つまり\(a,b\)は互いに素)このとき、\(a,b\)はともに平方数となる。

(証明)

どちらか一方が平方数ではないと仮定する。\(a,b\)の対称性よりこれを\(a\)としておく。すると、ある素数\(p\)が存在して\(a\)は素因数分解した時に素数\(p\)を奇数個持つことになる。(∵\(a\)は平方数ではない←平方数を素因数分解した時の素数の指数はすべて偶数)

\(a,b\)は互いに素だから共通の素数\(p\)を持つことはない。ゆえに積\(ab\)全体で見てもその素数\(p\)の数は\(a\)に含まれるもののみであり奇数個になる。しかしこれは\(ab\)が平方数であることに矛盾する。

したがって、\(a,b\)はともに平方数となる。(証明おわり)

【補足】
このように平方数と互いに素を絡めることで議論を進められます。また、無理やり互いに素な状況に持っていくために、\(AB=m^2\)(\(A,B,m\)は整数)のとき、\(A,B\)の最大公約数\(g\)を設定し、\((A,B)=(ag,bg)\)(\(a,b\)は互いに素)とおきます。元の式に代入してみると、\(\displaystyle ab= (\frac{m}{g})^2\)となり、先ほどの場合に帰着することができました。

【本問では】
先ほどと同じように\(n,n+p\)の最大公約数、つまりユークリッドの互除法から\(n,p\)の最大公約数を考えることになりますが、\(p\)が素数ですので議論が楽で、\(n\)が\(p\)の倍数か否かに注目することになります。

それでは解答に入っていきましょう!

解答

解1°)積の形を作成して因数分解

\(\sqrt{n(n+p)}=m\)(\(m\)は正の整数)とおく。この両辺は正より2乗しても同値であり、\(n\)について平方完成して整理することで、

\begin{align}
n^2+np+ \frac{1}{4}p^2-\frac{1}{4}p^2 &=m^2 \\
(n+\frac{1}{2}p)^2-m^2 &= \frac{1}{4}p^2 \\
(2n+p)^2-4m^2& =p^2 \\
(2n+p+2m)(2n+p-2m) &= p^2
\end{align}

\(2n+p+2m>0, p^2>0\)であることから\(2n+p-2m>0\)であり、\(m>0\)であることから、\(2n+p+2m>2n+p-2m\)である。

これらのことと\(p\)が素数であることから、

\begin{align}
2n+p+2m &= p^2 \\
2n+p-2m &= 1
\end{align}

が従う。両辺を足すことで、

\(4n=p^2-2p+1=(p-1)^2\)

を得る。ここで\(p=2\)とすると、\(n^2<n(n+2)<n^2+2n+1=(n+1)^2\)が成立するので、\(n<\sqrt{n(n+2)}<n+1\)となり、整数は幅1・とびとびで存在するので\(\sqrt{n(n+2)}\)は整数となりえない。

ゆえに今、\(p\)は\(3\)以上の素数であり、先ほどの式から\(\displaystyle n=(\frac{p-1}{2})^2\)となり、\(\displaystyle \frac{p-1}{2}\)は整数となるから\(n\)は平方数である。

またこのとき、\(\displaystyle \sqrt{n(n+2)}=\frac{p+1}{2} \frac{p-1}{2}\)となり\(m\)も確かに整数である。(証明おわり)

解2°)\(n\)についての2次方程式とみて解く

\(\sqrt{n(n+p)}=m\)(\(m\)は正の整数)とおく。この両辺は正より2乗しても同値であり、\(n(n+p)=m^2\)となる。この式を\(n\)についての2次方程式とみなして解いて、\(n>0\)であるほうの解を採用すると、

\(\displaystyle n= \frac{-p+\sqrt{p^2+4m^2}}{2}\)

となる。ここで\(n\)は自然数であるから、\(\sqrt{p^2+4m^2}\)は整数であることが必要。

\(\sqrt{p^2+4m^2}=l\)(\(l\)は正の整数)とおく。この両辺は正より2乗しても同値であり、\(p^2+4m^2=l^2\)となる。これを変形して、因数分解すると、

\((l+2m)(l-2m)=p^2\)

となる。

\(l+2m>0, p^2>0\)であることから\(l-2m>0\)であり、\(m>0\)であることから、\(l+2m>l-2m\)である。

これらのことと\(p\)が素数であることから、

\begin{align}
l+2m &= p^2 \\
l-2m &= 1
\end{align}

が従う。両辺を足すことで、\(\displaystyle l=\frac{p^2+1}{2}\)を得る。

よって、元の式に代入して、

\begin{align}
n &= \frac{-p+\frac{p^2+1}{2}}{2} \\
&= \frac{p^2-2p+1}{4} \\
&= (\frac{p-1}{2})^2
\end{align}

を得る。ここで\(p=2\)とすると、\(n^2<n(n+2)<n^2+2n+1=(n+1)^2\)が成立するので、\(n<\sqrt{n(n+2)}<n+1\)となり、整数は幅1・とびとびで存在するので\(\sqrt{n(n+2)}\)は整数となりえない。

ゆえに今、\(p\)は\(3\)以上の素数であり、先ほどの式から\(\displaystyle n=(\frac{p-1}{2})^2\)となり、\(\displaystyle \frac{p-1}{2}\)は整数となるから\(n\)は平方数である。

またこのとき、\(l\)および\(\displaystyle \sqrt{n(n+2)}=\frac{p+1}{2} \frac{p-1}{2}\)となり\(m\)も確かに整数である。(証明おわり)

解3°)平方数と互いに素の利用

\(\sqrt{n(n+p)}=m\)(\(m\)は正の整数)とおく。この両辺は正より2乗しても同値であり、\(n(n+p)=m^2\)となる。

ここで\(n,n+p\)の最大公約数を\(g\)とすると互いに素な整数\(a,b\)を用いて、

\begin{align}
n &= ag \\
n+p &= bg
\end{align}

と書ける。両辺を減じることで、

\(p=(b-a)g\)

となるから、\(g\)は\(p\)の正の約数つまり\(1\)または\(p\)となる。

(Case1)\(g=1\)のとき

\(n,n+p\)は互いに素でその積が平方数となるから\(n,n+p\)はともに平方数であり題意は正しい。

(Case2)\(g=p\)のとき

\(n=ap, n+p=(a+1)p\)となるから、\(m^2=p^2a(a+1)\)となる。

\(p\)が素数であることから\(a(a+1)\)も平方数となるはずだが、\(a^2<a(a+1)<(a+1)^2\)つまり\(a<\sqrt{a(a+1)}<a+1\)となってしまい平方数とはなり得ないため矛盾。

以上2つの場合分けから\(n\)が素数であることが証明された。(証明おわり)

あとがき

最後までご覧いただきありがとうございました。Twitter上で毎週金曜日の夜にハッシュタグ「今週の整数問題」をつけて問題を投稿しています。是非解いてみてください!解説記事も順次作成していきます。

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Yuya Sakurada

洛北(中高一貫)→京都大学理学部2回生|元駿台特待, EX生|予備校勤務 |個別指導講師(英数物)|高3時, 京大模試英語で全国15位以内を1年間で7回達成|ポケモン全国3位(2013), 全国Top8(2017), 全国Top4(2018)|大学受験英語・数学や大学の学問紹介の記事を中心に書いています。

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