入試数学演習 大学受験 数学

【入試数学演習No.22】京都大学理系数学2022 大問2 解答・解説

目次

  1. 問題
  2. 方針
  3. 解答
  4. あとがき

問題

【場合の数・確率】
箱の中に\(1\)から\(n\)までの番号がついた\(n\)枚の札がある。ただし\(n \geq 5\)とし, 同じ番号の札はないとする。この箱から\(3\)枚の札を同時に取り出し, 札の番号を小さい順に\(X, Y, Z\)とする。このとき, \(Y-X \geq 2\)かつ\(Z-Y \geq 2\)となる確率を求めよ。

全問題はこちらから→【過去問解説】京都大学 2022年度 理系数学 -分析から解答の方針まで徹底解説- | Sacramy

方針

直接求める vs 漸化式で求める

場合の数・確率において、「直接計算によって求めるのか、あるいは漸化式など関係性から間接的に求めるのか」は重要な論点です。(必ずしもそうではないですが)一般論として、

直接計算可能なものふるいの方法(集合を用いる方法)、格子点のシグマ計算から求める方法、樹形図から求める方法
間接的に計算するもの:漸化式

がメジャーだと思います。さて、どちらの手法を取るべきかという問いに関して言うと、「問題によってまちまち」であり、それは各問題のおいて実験することで初めて見えてくるものだと思います。参考までにどのような場合のそれぞれの手法が有効かを述べておくと、

ふるいの方法(集合を用いる方法):題意の確率の条件が「すべての~」「少なくとも~」「かつ」「または」などの日本語で表されているときに有効です。
【参考】【入試数学演習No.6】京都大学理系数学2021 大問1 解答・解説 | Sacramy

格子点のシグマ計算:変数が整数値のみを取り、求める確率がその変数によって記述でき、かつ最後にシグマ計算可能な場合に有効です。

漸化式:直接計算するのが不可能あるいは難しい場合に用いることが多いです。\(n\)番目とそれ以降の番目の確率との間に何らかの関係性がある場合にこの手法が有効であり、樹形図を書いていくと、場合の数が無限に広がっていって追いきれない場合などにも漸化式の可能性を疑うといいと思います。2010年代後半の京都大学理系数学の場合の数・確率の問題は蓋を開ければ漸化式で解ける、というケースがほとんどですが、2020年度以降は漸化式の姿は見なくなってしまいました。(2020年度は魔法陣の問題、2021年度はふるいの方法を使う問題、今年はシグマ計算の問題です。)そういえば東京大学の場合の数・確率の問題の事情もこんな感じだった気がします。

さてそれでは、格子点の求め方を復習した上で、それを場合の数・確率に応用していく様子を見てみましょう。

格子点

最初に簡単なケースを扱って、格子点の考え方を復習しておきます。

【格子点の計算方法】
次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点(\(x\)座標, \(y\)座標がともに整数である点)の個数を求めよ。ただし, \(n\)は自然数とする。
\(x \geq 0, y \geq 0, x+2y \leq 2n\)
(チャート式数学ⅡB)

(方針)

格子点の個数の計算のアプローチ方法は主に2つあります。

1°)直線\(x=k, y=k\)などで切ってまずその直線上の格子点を求め、次に\(k\)で和を取る。
→最も汎用性が高い方法であり、2次元では考えにくいので、まずは1文字を固定して1次元に落として考えようという発想です。この考え方で重要な論点としては「切断軸をどう設定するか」ということです。ほとんどの場合、\(x=k, y=k\)のいずれかで切断すると上手くいきます。ただ、縦横どちらで切るかは問題によって判断する必要があります。どちらのほうがいいかについての判断軸としては、①固定する変数\(k\)に場合分けが生じないか切断した直線上の格子点の数がカウント可能か(\( \sqrt{} \)やガウス記号などを含まぬ形で記述できるか)などが挙げられます。
→また、その際、きちんと図を書いて議論することが大切です。本問はまだ簡単ですが、複雑な平面上の格子点も出てくるので図示はマストです。(採点官との共通認識を取るという意味においても、です。)

2°)図形の特徴(長方形や図形の対称性)を活かして計算する
→前者は長方形という特別な図形の形態の場合のみしか適用できず、汎用性に欠けます。ただ、図形の対称性を意識することは重要です。

(解答)

\(x+2y \leq 2n\)を変形すると、\(x \leq 2n-2y\)となる。

直線\(y=k\)(\(k=0, 1, \cdots , n\))上には、\(2n-2k-0+1=2n-2k+1\)個の格子点が並ぶ。よって、格子点の数は、

\begin{align}
\sum_{k=0}^{n} (2n-2k+1) &= \sum_{k=0}^{n} (2k+1) \\
&= \sum_{k=1}^{n} (2k+1) + 2 \cdot 0 +1 \\
&= 2 \cdot \frac{1}{2} n(n+1) + n +1 \\
&= n^2+2n+1 \\
&= (n+1)^2 (答え)
\end{align}

図1 格子点の計算方法

(注意)

1°)\(x=k\)で切断してもよいですが、その場合、\(0 \leq y \leq \displaystyle \frac{1}{2}k+n\)となり、\(k\)の偶数・奇数に応じて切断軸上の格子点数が変化してしまい、場合分けが生じるので面倒になってしまいます。(判断軸①を検討した)

2°)\(2n-2k-0+1=2n-2k+1\)個の格子点が並ぶというのは、最も大きい整数値と、最も小さい整数値の差に\(1\)を加えたのが格子点の個数になるということです。\(1\)を加える理由としては、小学校で習う植木算のようなものをイメージすると良く、例えば\(1\)から\(10\)まえでのカードがあるとき、カードの枚数は\(10-1+1=10\)と計算できますよね。この原理と同じです。

さて、この格子点の考え方を場合の数に応用してみましょう。

格子点の場合の数・確率への応用

【格子点×場合の数・確率】
区別のない\(6n\)個の球を\(3\)つの箱に分配するとき
(1)箱に区別があれば, 分配する方法は何通りか。
(2)箱に区別がなければ, 分配する方法は何通りか。
ただし, 空箱は認めないものとする。

((1)の解答)

箱\(\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}\)にそれぞれ\(x\)個、\(y\)個、\(z\)個ずつ分配するとすれば、

\(x+y+z=6n, x \geq 1, y \geq 1, z \geq 1\)

満たす整数の組\((x,y,z)\)が求める場合の数と1対1に対応する。\(z=6n-x-y\)であるから、\(z\)を消去すると、

\(x \geq 1, y \geq 1, 6n-x-y \geq 1\)

となる。\(x=k\)(\(1 \leq k \leq 6n-2\))として、直線\(x=k\)上には、\(6n-1-k-1+1=6n-1-k\)個の格子点が並ぶ。よって、格子点の数は、

\begin{align}
\sum_{k=1}^{6n-2} (6n-1-k) &= (6n-2)+(6n-3)+ \cdots + 1 \\
&= \frac{1}{2}((6n-2)+1)(6n-2) \\
&= (6n-1)(3n-1)(答え)
\end{align}

図2 格子点×場合の数・確率(1)

((2)の解答)

\(x\)個、\(y\)個、\(z\)個ずつ分配するとすれば、

\(x+y+z=6n, 1 \leq x \leq y \leq z\)

満たす整数の組\((x,y,z)\)が求める場合の数と1対1に対応する。\(z=6n-x-y\)であるから、\(z\)を消去すると、

\(1 \leq x \leq y \leq 6n-x-y\)

となる。\(y=k\)(\(1 \leq k \leq 6n-2\))として、

①\(1 \leq k \leq 2n\)のとき
→直線\(y=k\)上には、\(k-1+1=k\)個の格子点が並ぶ。

②\(2n+1 \leq k \leq 3n-1\)のとき
→直線\(y=k\)上には、\(6n-2k-1+1=6n-2k\)個の格子点が並ぶ。

よって、格子点の数は、

\begin{align}
\sum_{k=1}^{2n} k + \sum_{2n+1}^{3n-1} (6n-2k)
&= \frac{1}{2}2n(2n+1)+ 2+4+ \cdots + (2n-2) \\
&= \frac{1}{2}2n(2n+1)+ \frac{1}{2}((2n-2)+2)(n-1) \\
&= n(2n+1) + n(n-1) \\
&= 3n^2(答え)
\end{align}

図3 格子点×場合の数・確率(2)

(注意)

1°)(1)では格子点1つが求める場合の数と1対1に対応するので、そのまま計算を進めればよいです。

2°)いっぽう(2)では格子点と求める場合の数の対応関係が取れていない(具体的には例えば、\((x,y,z)=(1,1,2)\))と\((1,2,1),(1,1,2)\)を格子点サイドでは区別することになるが、場合の数のほうでは箱に区別がないため区別しない)ため、何らかの工夫が必要です。そこで\大小関係を付けることで(x,y,z\)の対称性をいったん崩して、この問題を解消しているのです。(箱3つに分配すれば、球の個数が少ないものから多いものまで順にあるので、それらを順に\(x,y,z\)としてやればよいのです。)

→本問では

まず、どの方針で進めていくのかを検討するために、条件を満たす組み合わせを書き出すなどして実験していると、(あるいは問題文の条件的に\(n\)と場合と\(n+1\)の場合にあまり関係性を見出せないため)どうやら直接、求める場合の数を数えるタイプの問題であることが見えてきます。すると、先ほど述べたような格子点の計算によって処理できそうだと分かります。

しかも、本問ではもともと\(X, Y, Z\)の3変数に対称性がないため(既に3つの球を区別できる状態になっているため)、追加で不等式を条件として持ち出す必要もなく、そのまま3次元→2次元→1次元と次元を落としながら、格子点問題としてシグマ計算を実行すればよいです。

後はやや計算が煩雑になるので、計算ミスをしないようにだけ注意しましょう。場合の数・確率の問題のテクニックですが、①漸化式など肝となる式が出たタイミング 最終的な答えが出たタイミング の2つで自分が出した数値が本当に正しいか見直しを適宜挟むといいと思います。見直しする方法としては、小さい\(n\)から順番に代入していくのがオススメで、\(n=1, 2, 3, 4\)くらいまで代入して本来の答えと合致しれいれば(大学入試数学においては)正しい答えを引き出せている可能性はかなり高いでしょう。

ついでに、以下で類題を紹介しておきます。この問題のほうが本問よりも圧倒的に難しいです。難しい理由としては、
場面に応じた適切な変数の設定:問題文の条件から、変数をどこに定めるのか+変数の定義域を正確に把握すること
複雑なシグマ計算:2重シグマ計算になっており、文字が相互に依存関係にあり、複雑な計算が求められること
の2点が挙げられます。この問題を過去問として経験していれば、本問はミジンコ以下に感じられる可能性が高まるのではないでしょうか。

(類題)場合の数・確率 -格子点を利用して計算する-
1つのさいころを\(n\)回続けて投げ, 出た目を順に\(\mathrm{X_1}, \mathrm{X_2}, \cdots , \mathrm{X_n}\)とする。このとき次の条件を満たす確率を\(n\)を用いて表せ。ただし\(\mathrm{X_0}=0\)としておく。
条件:\(1 \leq k \leq n\)を満たす\(k\)のうち, \(\mathrm{X_{k-1}} \leq 4\)かつ\(\mathrm{X_k} \geq 5\)が成立するような\(k\)の値はただ1つである。
(19 京都大学理系 大問4)

(方針)
漸化式を利用して計算してもいいですが、シグマ計算によって直接求めることもできます。上手いこと変数を設定して計算していくと最終的には2変数の確率になるので、それを\(P(a,b)\)とでもしておきましょう。すると計算方法としては、各\((a,b)\)の組み合わせに対応する確率を\(ab\)平面上に存在し得る格子点として記述し、それらを\(a, b\)各々でシグマを取ってやればいいことになります。

格子点の場合だと、各格子点に対して「1通り」という場合の数が対応していたのに対し、本問では「\(P(a,b)\)」という確率が対応していることになります。

(解答)
順次掲載します。

また、他の求め方として、余事象を利用する方法もあると思います。\(Y-X \geq 2\)かつ\(Z-Y \geq 2\)の否定を考えればよいので、\(Y-X \leq 1\)または\(Z-Y \leq 1\)の場合を考えることになりますが、各数が同じ数になることはないので差は\(0\)にはならず、差は\(1\)で確定です。差が\(1\)になる組は手計算ですぐのカウントできます。ゆえに、この方法でも求めることができるでしょう。別解として扱っておきます。(ただこの解法は結果論ありきな気がしていて、事象そのものを計算すると場合の数が求まるので、わざわざ余事象を考えるにまで至らない気がしています。それでも、1つの解法の選択肢としては大切です。)

では解答のほうに入っていきましょう!

解答

解1°)格子点×場合の数・確率

まず、与えられた条件から3数\(X,Y,Z\)についての条件を記述する。札の番号を小さい順に\(X, Y, Z\)とすることから、

\(X < Y < Z\)

が成立する。更に、\(X,Y,Z\)がすべて整数であることを用いると、

\(X \leq Y-1 \leq Z-2\)

となる。また、問題文より、

\(Y-X \geq 2, Z-Y \geq 2\)

となる。これらの条件を満たす整数の組\((X, Y, Z)\)が求める場合の数と1対1に対応する。

ここで、\(Z=k\)(\(3 \leq k \leq n \))とすると、題意の条件は、

\begin{cases}
X \leq Y-1 \leq k-2 \\
Y \geq X+2 \\
k-Y \geq 2
\end{cases}

つまり、

\begin{cases}
Y \geq X+2 \\
Y \leq k-2 \\
\end{cases}

となる。\(X=i\)(\(1 \leq i \leq k-4\))として、直線\(X=i\)上には、\((k-2)-(i+2)+1=k-i-3\)個の格子点が並ぶ。よって、平面\(Z=k\)上における格子点の数は、

\begin{align}
\sum_{i=1}^{k-4} (k-i-3) &= \sum_{i=1}^{k-4}(k-3) - \sum_{i=1}^{k-4}i \\
&= (k-4)(k-3)- \frac{1}{2}(k-4)((k-4)+1) \\
&= \frac{1}{2}(k^2-7k+12)
\end{align}

図4 格子点×場合の数・確率

ここで、

\begin{align}
\sum_{k=3}^{n} (k^2-7k+12) &= \sum_{k=1}^{n}(k^2-7k+2) - \sum_{k=1}^{2}(k^2-7k+2) \\
&= \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - \frac{7}{2}n(n+1) +12n - 8 \\
&= \frac{1}{6}(n(1n^2+3n+1)-21n(n+1)+72n-48) \\
&= \frac{1}{6}2(n^3-9n^2+26n-24) \\
&= \frac{1}{3}(n-4)(n-3)(n-2)
\end{align}

となる。また、全体の組み合わせの数は、

\( \displaystyle {}_n \mathrm{C}_3 = \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)\)通り

だから、求める確率は、

\begin{align}
&\frac{\frac{1}{3}n(n-4)(n-3)(n-2)}{2 \cdot \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)} \\
&= \frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}(答え)
\end{align}

解2°)余事象

余事象を考える。\(Y-X \geq 2\)かつ\(Z-Y \geq 2\)の否定を考えればよいので、\(Y-X \leq 1\)または\(Z-Y \leq 1\)の場合を考えることになる。

\(X, Y, Z\)は小さい順に並んでおり、同じ数になることはないので、\(Y-X = 1\)または\(Z-Y = 1\)の場合を考えればよい。

①\(Y-X = 1\)の場合

\((X,Y)=(1,2), (2,3), \cdots (n-2,n-1)\)の場合が考えられ、各々の場合に対して\(Z\)は\(n-2, n-1, \cdots 1\)通りとれるので、場合の数は、

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-2} k = \frac{1}{2}(n-2)(n-1)\)

となる。

②\(Z-Y = 1\)の場合

\((Y,Z)=(2,3), (3,4), \cdots (n-1,n)\)の場合が考えられ、各々の場合に対して\(X\)は\(1, 2, \cdots n-2\)通りとれるので、場合の数は、

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n-2} k = \frac{1}{2}(n-2)(n-1)\)

となる。

\(Y-X = 1\)かつ\(Z-Y = 1\)の場合

\(X\)を決めれば自動的に\(Y, Z\)が決まり、\(X\)は\(1\)から\(n-2\)まで取れるので、求める場合の数は\(n-2\)。

また、全体の組み合わせの数は、

\( \displaystyle {}_n \mathrm{C}_3 = \frac{1}{6}n(n-1)(n-2)\)

だから、求める確率は、

\begin{align}
1- \frac{(n-2)(n-1)-(n-2)}{\frac{1}{6}n(n-1)(n-2)} &= 6 \frac{(n-1)-1}{n(n-1)} \\
&= 1- 6 \frac{n-2}{n(n-1)} \\
&= \frac{n(n-1)-6(n-2)}{n(n-1)} \\
&= \frac{n^2-7n+12}{n(n-1)} \\
&= \frac{(n-3)(n-4)}{n(n-1)}(答え)
\end{align}

あとがき

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2022年度理系数学の問題一覧はこちらから見ることができます。

注意

・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。

・以上6問はすべて京都大学2022年度理系数学の問題です。

  • この記事を書いた人
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Yuya Sakurada

洛北(中高一貫)→京都大学理学部2回生|元駿台特待, EX生|予備校勤務 |個別指導講師(英数)|高3時, 京大模試英語で全国15位以内を1年間で7回達成|ポケモン全国3位(2013), 全国Top8(2017), 全国Top4(2018)|大学受験英語・数学や大学の学問紹介の記事を中心に書いています。

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