目次
問題
曲線\(y= \log(1+\cos{x})\)の\(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)の部分の長さを求めよ。
方針
極めてシンプルな計算問題です。曲線の長さの公式と、積分計算の途中で出てくる\(\sqrt{}\)の解消、2019年度大問１の問２（２）でも出題されていた\( \frac{1}{\cos{x}}\)の積分を求める部分の３箇所が関門となりますが、京大受験生にとってはかなり易しい問題であり、確実に計算を合わしたいです。
曲線の長さ
１°）直交座標
曲線\(y=f(x)\)（\(a \leq x \leq b\)）の長さ\(\mathrm{L}\)は、
\(\mathrm{L}= \displaystyle \int_a^b \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx =\displaystyle \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2} dx\)
媒介変数
曲線\(x=f(t), y=g(t)\)（\(\alpha \leq t \leq \beta\)）の長さ\(\mathrm{L}\)は、
\(\mathrm{L}= \displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{ (\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2} dt =\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{(f`(t))^2+(g`(t))^2} dt\)
\( \frac{1}{\cos{x}}\)の積分
初見だと太刀打ちできないかもしれませんが、入試では有名な積分です。よく、「三角関数は２乗に強い」と言われることがあります。というのも、三角関数の基本的な関係式に、\(\theta\)を実数として、
\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1 \\
1+ \tan^2{\theta} = \frac{1}{\cos^2{\theta}}
\end{align}
というものがあります。すべて２乗の形をしています。さらに、半角の公式や\(\cos{2\theta}\)の２倍角の公式（両者は本質的には同じ）も２乗の形をしています。
これらの公式から推察されるように、三角関数には２乗を含む関係式が多く、２乗の形を作ることでその後の変形がうまくいくことがしばしばあるのです。
本問の場合だと、分母分子に無理やり\(\cos{x}\)をかけることで、
\frac{1}{\cos{x}} &= \frac{\cos{x}}{\cos^2{x}} \\
&=\frac{\cos{x}}{1-\sin^2{x}} \\
&=\frac{1}{2}(\frac{\cos{t}}{1+\sin{t}} +\frac{\cos{t}}{1-\sin{t}}) \\
&=\frac{1}{2}(\frac{(\sin{t})'}{1+\sin{t}} +\frac{(\sin{t})'}{1-\sin{t}}) \\
\end{align}
と変形できて積分計算ができるわけですね。
また、ワイエルシュトラス置換をすることでも解くことができます。
\(t=\tan{\frac{x}{2}}\)とおくことで、議論を進めることができます。一度自分の手で計算して試してみてください^^
解答
\(y= \log(1+x)\)（\(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)）であるから、
\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{-\sin{x}}{1+\cos{x}}\)
である。これより、
\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} &= \sqrt{1+ \frac{\sin^2{x}}{(1+\cos{x})^2}} \\
&= \sqrt{\frac{1+2\cos{x}+(\sin^2{x}+\cos^2{x})}{(1+\cos{x})^2}} \\
&= \sqrt{\frac{2+2\cos{x}}{(1+\cos{x})^2}} \\
&= \sqrt{\frac{2}{1+\cos{x}}} \\
\end{align}
半角の公式から、\(\displaystyle \cos^2{\frac{x}{2}}= \frac{1+\cos{x}}{2}\)であり、\(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\)の範囲で\(\cos{\frac{x}{2}} > 0\)だから、
\sqrt{\frac{2}{1+\cos{x}}} &= \sqrt{\frac{1}{(\cos{\frac{x}{2}})^2}} \\
&= \frac{1}{\cos{\frac{x}{2}}}
\end{align}
となる。以上のことにより、求める長さを\(\mathrm{L}\)とおくと、
\mathrm{L} &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2} dx \\
&= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\cos{\frac{x}{2}}} dx
\end{align}
\(t=\frac{x}{2}\)と置換すると、\(dx=2dt\),\(x: 0 \to \frac{\pi}{2}\)のとき\(t: 0 \to \frac{\pi}{4}\)であるから、
\mathrm{L} &= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2}{\cos{t}} dt \\
&= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2\cos{t}}{1-\sin^2{t}} dt \\
&= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\cos{t}}{1+\sin{t}} +\frac{\cos{t}}{1-\sin{t}} \\
&= \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{(\sin{t})'}{1+\sin{t}} +\frac{(\sin{t})'}{1-\sin{t}} \\
&= [-\log{|1-\sin{t}|}+\log{|1+\sin{t}|}]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&= -\log(1-\sqrt{2})+\log(1+\sqrt{2}) \\
&= \log{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}} \\
&= \log{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}} \\
&= 2\log(\sqrt{2}+1)
\end{align}
よって、求める長さは\(2\log(\sqrt{2}+1)\)である。（答え）
あとがき
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2021年度理系数学の問題一覧はこちらから見ることができます。
注意
・京都大学の入試問題の掲載にあたり、著作権法上の権利を損ねないよう、試験問題等の利用について | 京都大学 (kyoto-u.ac.jp)に従って記事作成後一か月以内に「京都大学入試問題等利用報告書」を提出しています。
・以上６問はすべて京都大学2021年度理系数学の問題です。
