整数

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 【整数】\(n\)を自然数とする。\(3\)つの整数\(n^2+2, n^4+2, n^6+2\)の最大公約数\(A_n\)を求めよ。 全問題はこちらから→【過 ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(x,y,z\)は正の整数とする。 （１）\(\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)を満た ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(n\)を整数の定数とする。\(x,y\)に関する方程式 \(x^3+y^3-3xy=n\) を満たす整数の組\((x,y)\)が無限個存在するのは\(n=- ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 連続する自然数の２乗の和は\(2020\)となりうるか議論せよ。 例えば, \(25\)は\(3^2+4^2, 5^2\)と２通りで表せる。（１個の自然数の２乗 ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(p, q, r\)を素数, \(n\)を自然数とする。 \(p^2=q^2+r^n\) を満たす\(p,q,r,n\)の組\((p,q,r,n)\)をすべて ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(4^n+4n^2+1\)が平方数となる自然数\(n\)を全て求めよ。 （創作問題 by京都大学理学部２回生の友人） 方針 まずは整数問題の基本方針についてお ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(3^x+x^4=y!+2019\)をみたす正の整数の組\((x,y)\)を全て求めよ。 （2019年 China North MO, Problem1） 方 ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 （１）\(3^n=k^3+1\)をみたす正の整数の組\((k,n)\)をすべて求めよ。 （２）\(3^n=k^2-40\)をみたす正の整数の組\((k,n)\) ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 \(a\)を\(2\)以上の整数, \(p\)を\(3\)より大きい素数とする。ある正整数\(k\)に対して等式 \(a^{p-1}-1=p^k\) が成り立つ ...

目次 問題 方針 解答 あとがき 問題 正の整数\(n\), 素数\(p\)に対し, \(\sqrt{n(n+p)}\)が整数になるという。このとき, \(n\)は平方数であることを示せ。 方針 まず ...