基本事項解説 大学受験 数学

【保存版】高校数学 三角関数 和積・積和の公式 ~加法定理から導く~

 

目次

  1. まえがき
  2. 和積の公式
  3. 積和の公式
  4. 加法定理からの導出
  5. 入試問題
  6. あとがき

まえがき

こんにちは。今回は和積・積和の公式を加法定理から導いていきたいと思います。初めに言っておきますが、(個人的には)これは丸暗記するほどのものでもなく、試験中に解答で必要になった際にその場で適宜自分で公式を作ればいいと思います。覚え間違いも頻発する公式ですので、和積・積和の公式を暗記する労力は他に回し、導出できる力を身に着けるほうがいいでしょう。

和積の公式

・\(\sin\alpha +\sin\beta =2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)

・\(\sin\alpha -\sin\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\)

・\(\cos\alpha +\cos\beta =2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)

・\(\cos\alpha - \cos\beta =-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\)

積和の公式

・\(\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))\)

・\(\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))\)

・\(\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))\)

加法定理からの導出

加法定理

\(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha \cos\beta+\cos\alpha \sin\beta \tag1\)

\(\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha \cos\beta-\cos\alpha \sin\beta \tag2\)

\(\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \tag3\)

\(\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \tag4\)

和積の公式

\(\alpha =\frac{\alpha + \beta}{2}+\frac{\alpha - \beta}{2},\beta =\frac{\alpha + \beta}{2}-\frac{\alpha - \beta}{2}\)ととらえることがポイントとなっています。

\begin{align}
・\sin\alpha +\sin\beta &=\sin(\frac{\alpha + \beta}{2}+\frac{\alpha - \beta}{2}) +\sin(\frac{\alpha + \beta}{2}-\frac{\alpha - \beta}{2}) \\
&=\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) +\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) + \sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) - \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \\
&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\
\end{align}

\begin{align}
・\sin\alpha - \sin\beta &=\sin(\frac{\alpha + \beta}{2}+\frac{\alpha - \beta}{2}) -\sin(\frac{\alpha + \beta}{2}-\frac{\alpha - \beta}{2}) \\
&=\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) +\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) - \sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) + \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \\
&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\
\end{align}

\begin{align}
・\cos\alpha +\cos\beta &=\cos(\frac{\alpha + \beta}{2}+\frac{\alpha - \beta}{2}) +\cos(\frac{\alpha + \beta}{2}-\frac{\alpha - \beta}{2}) \\
&=\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) -\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) + \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) + \sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \\
&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\end{align}

\begin{align}
・\cos\alpha -\cos\beta &=\cos(\frac{\alpha + \beta}{2}+\frac{\alpha - \beta}{2}) -\cos(\frac{\alpha + \beta}{2}-\frac{\alpha - \beta}{2}) \\
&=\cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) -\sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) - \cos(\frac{\alpha + \beta}{2})\cos(\frac{\alpha - \beta}{2}) - \sin(\frac{\alpha + \beta}{2})\sin(\frac{\alpha - \beta}{2}) \\
&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\
\end{align}

積和の公式

・\(\frac{(1)+(2)}{2}\)より、\(\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta))\)

・\(\frac{(3)+(4)}{2}\)より、\(\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta))\)

・\(\frac{(4)-(3)}{2}\)より、\(\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta))\)

をそれぞれ得る。(証明おわり)

入試問題

(問題)\(\alpha,\beta,\gamma\)は\(\alpha > 0, \beta > 0, \gamma > 0, \alpha+\beta+\gamma=\pi\)を満たすものとする.  このとき,\(sin\alpha sin\beta sin\gamma\)の最大値を求めよ.
(99 京都大学理系後期)

上で提示した積和の公式を用いる解法以外にも様々な手法があると思います。かなりたくさんのことを学べる問題になっていますので、ぜひ一度自分で様々な解答を作ってみてください。

方針・解説は以下の記事を参照してください。

あとがき

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最終更新:2020 9/18(Fri.)

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Yuya Sakurada

洛北(中高一貫)→京都大学理学部2回生|元駿台特待, EX生|予備校勤務 |個別指導講師(英数)|高3時, 京大模試英語で全国15位以内を1年間で7回達成|ポケモン全国3位(2013), 全国Top8(2017), 全国Top4(2018)|大学受験英語・数学や大学の学問紹介の記事を中心に書いています。

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